Afinní transformace

Afinní transformace , někdy afinní transformace [1] (z latinského affinis „souvislý, blízký, sousedící“) je zobrazení roviny nebo prostoru do sebe, při kterém se z rovnoběžných přímek stávají rovnoběžné přímky, protínající se přímky se protínají, protínající se přímky se protínají [ 2] .

Definice

Geometrické

Bijekce euklidovského prostoru nebo roviny do sebe, která mapuje rovnoběžné přímky na rovnoběžné přímky, se nazývá afinní transformace.

Algebraické

Afinní transformace je transformace formy ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

f(x)=M\cdot x+v,

kde je invertibilní matice a . $M$ $v\in {\mathbb {R}}^{{n}}$

Komentáře

Všimněte si, že kontinuita se v geometrické definici nepředpokládá. Z definice však plyne kontinuita ne zcela triviálním způsobem. Navíc jsou obě definice ekvivalentní tzv. základní větou afinní geometrie .

Všimněte si, že transformace je afinní, pokud ji lze získat následovně:
1. Vyberte si „nový“ prostorový základ s „novým“ původem ; $proti$
2. Přiřaďte každému bodu v prostoru bod , který má vůči „novému“ souřadnicovému systému stejné souřadnice jako ve „starém“. $X$ $f(x)$ $X$

Příklady

Příklady afinních transformací jsou

Vlastnosti

Při afinní transformaci se z přímky stane přímka.
- Pokud rozměr prostoru ${n}\geqslant 2$ , pak je jakákoliv transformace prostoru (tj. bijekce prostoru na sebe), která přebírá čáry do čar, afinní. Tato definice se používá při axiomatické konstrukci afinní geometrie
Afinní transformace tvoří skupinu s ohledem na složení .
Jakékoli tři body neležící na stejné přímce a jejich obrazy (neležící na stejné přímce) jednoznačně definují afinní transformaci roviny.

Typy afinních transformací

Equiafinní transformace je afinní transformace, která zachová plochu (zachová se i afinní délka ).
Centro -afinní transformace je afinní transformace, která zachovává původ.

Maticová reprezentace

Stejně jako ostatní projektivní transformace lze afinní transformaci zapsat jako přechodovou matici v homogenních souřadnicích : $f(x)=M\cdot x+v$

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix }}$

Maticová reprezentace se používá zejména k zápisu afinních transformací v počítačové grafice. Výše uvedený formulář se používá v OpenGL [3] ; v DirectX (kde jsou souřadnice reprezentovány jako matice 1×4) je transponován [4] .

Variace a zobecnění

Ve výše uvedené definici afinní transformace lze použít libovolné pole , nejen pole reálných čísel . $\mathbb {R}$
Mapování mezi metrickými prostory se nazývá afinní, pokud mapuje geodetiku na geodetiku (s přihlédnutím k parametrizaci).
Afinní transformace prostoru jsou speciálním případem projektivních transformací téhož prostoru. Projektivní transformace prostoru lze zase reprezentovat jako afinní transformace prostoru . ${\mathbb {R}}^{{n}}$ ${\mathbb {R}}^{{n}}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$

Viz také

Metoda gumového listu (místní afinní transformace)

Poznámky

↑ Kagan V.F. Základy teorie povrchů v tenzorovém zobrazení. - Ripol-classic , 2013. - 518 s. — ISBN 9785458491099 .
↑ I. M. Vinogradov. Afinní transformace // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
↑ Transformace OpenGL . Získáno 4. srpna 2010. Archivováno z originálu dne 23. srpna 2011.
↑ Transformace (Direct3D 9 ) . Získáno 4. srpna 2010. Archivováno z originálu dne 23. srpna 2011.

Odkazy

Afinní rovinná transformace a její maticová reprezentace Archivováno 24. listopadu 2007 na Wayback Machine
Ershov A.V. Lineární a afinní prostory a mapování Archivováno 3. prosince 2021 na Wayback Machine . M.: MIPT, 2016. 69 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Velký Rus Universalis
V bibliografických katalozích	GND : 4141560-7