Nepřetržité zobrazení

Spojité mapování ( spojitá funkce ) je mapování z jednoho prostoru do druhého, ve kterém blízké body definičního oboru jdou do blízkých bodů rozsahu hodnot.

Nejobecnější definice je formulována pro mapování topologických prostorů : mapování je považováno za spojité, pokud je otevřený inverzní obraz libovolné otevřené množiny . Kontinuita zobrazení jiných typů prostorů - metrické prostory , normované prostory a podobné prostory - je přímým důsledkem obecné (topologické) definice, ale je formulována pomocí struktur definovaných v odpovídajících prostorech - metriky , normy atd. .

V matematické analýze a komplexní analýze , kde jsou uvažovány numerické funkce a jejich zobecnění pro případ vícerozměrných prostorů, je kontinuita funkce zavedena v jazyce limit : takové definice kontinuity byly historicky první a sloužily jako základ pro formování obecného konceptu.

Existence spojitých zobrazení mezi prostory umožňuje „přenést“ vlastnosti jednoho prostoru do druhého: například spojitý obraz kompaktního prostoru je také kompaktní.

Spojité zobrazení, které má inverzní a také spojité zobrazení, se nazývá homeomorfismus . Homeomorfismus vytváří vztah ekvivalence na třídě topologických prostorů ; prostory, které jsou navzájem homeomorfní, mají stejné topologické vlastnosti a samotné vlastnosti, které jsou zachovány pod homeomorfismy, se nazývají topologické invarianty .

Definice

Наиболее общее определение даётся в топологии .

Mapování z topologického prostoru do topologického prostoru se nazývá spojité , pokud je otevřený inverzní obraz libovolné otevřené množiny , to znamená: $f\dvojtečka X\to Y$ $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$

\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}

Uvažujeme-li nějakou podmnožinu množiny , pak se na této množině přirozeným způsobem indukuje topologie , která se skládá ze všech možných průniků množiny s množinami zahrnutými v topologii . $A$ $X$ ${\mathcal {T}}_{A}$ $A$ ${\mathcal {T}}_{X}$

Mapa , která je spojitá na množině , bude spojitá na kterékoli z jejích podmnožin ve smyslu topologie na ní indukované. $f\dvojtečka X\to Y$ $X$

Spojitost v bodě

Spojitost v bodě je formulována v jazyce sousedství a propojuje systém okolí bodu definičního oboru se systémem okolí odpovídajícího bodu definičního oboru.

Zobrazení se nazývá spojité v bodě , pokud pro jakékoli okolí bodu existuje okolí bodu takové, že . $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $PROTI$ $f(x)$ $U$ $X$ $f(U)\podmnožina V$

Zobrazení je spojité na nějaké množině právě tehdy, když je spojité v každém bodě dané množiny. [jeden]

Pokud definiční obor funkce splňuje první axiom spočetnosti , zejména pro metrické prostory, je spojitost v bodě ekvivalentní tzv. sekvenční spojitosti: if , then . V obecném případě jsou sekvenčně spojité inverzní obrazy sekvenčně uzavřených množin sekvenčně uzavřeny, což je analogické s ekvivalentní definicí spojitých zobrazení, pod kterými jsou uzavřeny inverzní obrazy uzavřených množin. $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$ $\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x)$

Následující prohlášení jsou ekvivalentní:

прообраз всякого открытого множества открыт;
inverzní obraz libovolné uzavřené množiny je uzavřen;
inverzní obraz každého okolí bodu rozsahu mapování je okolím odpovídajícího bodu definiční oblasti;
obrázek uzávěru libovolného souboru je obsažen v uzávěru obrázku tohoto souboru;
uzávěrka předobrazu libovolného souboru je obsažena v předobrazu uzávěrky.

Každá z těchto formulací tedy může být použita jako definice kontinuity mapování.

Spojitost v metrických a normovaných prostorech

V metrických prostorech je topologie dána rodinou otevřených kuliček různých "poloměrů" definovaných metrikou, takže obecná definice je formulována z hlediska této metriky (definice " epsilon-delta "):

O zobrazení z metrického prostoru do metrického prostoru se říká, že je spojité v bodě , jestliže pro každé existuje takové, že pro každé takové že platí následující nerovnost: . $f\dvojtečka X\to Y$ $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y})$ $A$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\in X$ $\rho _{X}(x,a)<\delta$ $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon$

Pro normované lineární prostory (včetně Hilbertových a konečných -rozměrných euklidovských prostorů) je metrika dána normou, takže stejná definice je dána v podmínkách normy.

Nechť, je mapování mezi normovanými prostory s normami a resp. Funkce je spojitá v bodě , jestliže pro libovolné číslo existuje takové číslo , že pro všechny body platí nerovnost , $f\colon {N_{1}}\to {N_{2}}$ $\|{*}\|_{1}$ $\|{*}\|_{2}$ $F$ $A$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\v N_{1}$ $\|xa\|_{1}<\delta$ $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon$

Metrické prostory (a tedy i normované prostory) splňují první axiom spočetnosti, takže tato definice je ekvivalentní definici sekvenční spojitosti.

Spojité funkce (funkcionály)

V případě číselné osy je normou obvykle modul čísla, takže definice spojitosti funkcionálu (nebo ), kde je libovolný topologický prostor , je následující: $f:X\rightarrow {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $X$

Funkcionál se nazývá spojitý v bodě , pokud pro nějaký existuje okolí tohoto bodu tak, že podmínka je splněna . $F$ $a\in X$ $\varepsilon >0$ $\Sigma _{a}$ $\forall x\in \Sigma _{a}$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Množina funkcionálů (funkcí) spojitých na se obvykle značí . Speciálním případem spojitých funkcionálů jsou spojité funkce číselného argumentu. $X$ $C(X)$

Spojitá numerická funkce

Nechat (nebo ). Funkce je spojitá v bodě , pokud pro libovolné číslo existuje takové číslo , že pro všechny body podmínka implikuje . $f\colon {\mathbb {R}}\supset E\to {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $F$ $A$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\v E$ $|xa|<\delta$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Jinými slovy, funkce je spojitá v limitním bodě pro množinu , pokud má limitu v daném bodě a tato limita se shoduje s hodnotou funkce v daném bodě: $F$ $A$ $E$

f\in C(\{a\})\Šipka doleva\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=f(a)

Funkce je spojitá na množině , pokud je spojitá v každém bodě dané množiny. V tomto případě říkají, že funkce třídy a napište: nebo podrobněji . $F$ $E$ $F$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Vlastnosti spojitých zobrazení

Kompletní předobraz jakékoli otevřené (uzavřené) sady pod spojitým mapováním je otevřená (uzavřená) sada

Obraz kompaktní množiny pod spojitým mapováním je kompaktní množina .

Spojitá numerická funkce na kompaktní množině je omezená a dosahuje své horní a dolní meze . Tato vlastnost navazuje na předchozí.

Obraz spojené množiny pod spojitým mapováním je připojená množina .

Tietzeho věta . Jakákoli spojitá funkce s reálnou hodnotou definovaná na uzavřené podmnožině normálního prostoru může být rozšířena na spojitou funkci na celém prostoru.

Skladba spojitých zobrazení je také souvislým zobrazením.
Součet, rozdíl a součin spojitých reálně hodnotných funkcí jsou spojité.
Kontinuita lineárního zobrazení z jednoho lineárního topologického prostoru do druhého implikuje jeho ohraničenost. V případě normovaných prostorů je spojitost lineárního zobrazení ekvivalentní jeho ohraničenosti.
Stone-Weierstrassův teorém (zobecnění klasické Weierstrassovy věty ). Nechť je prostor spojitých funkcí na kompaktním Hausdorffově topologickém prostoru . Nechť je podmnožina obsahující konstanty, uzavřená s ohledem na složení a lineární kombinaci funkcí a také obsahující limity svých rovnoměrně konvergentních posloupností funkcí. V tomto případě, pokud a pouze tehdy , existuje taková, že . $C(X)$ $X$ $B(X)$ $C(X)$ $B(X)=C(X)$ $\forall x_{1},x_{2}\in X$ $f\in B$ $f(x_{1})\not =f(x_{2})$

Související definice

Homeomorfismus je souvislé mapování jedna ku jedné z jednoho topologického prostoru do druhého s také spojitým inverzním mapováním.
Jednotná kontinuita

Viz také

Odkazy

Mathematical Etudes Archived 18. října 2011 na Wayback Machine Cartoon o kontinuitě

Poznámky

↑ V matematické analýze je koncept spojitosti nejprve formulován lokálně , v určitém bodě, a spojitost na množině je definována jako spojitost v každém bodě dané množiny.

Literatura

Kelly JL Kapitola 3. Produkty a faktorové prostory // Obecná topologie = Obecná topologie. - 2. vyd. - M .: Nauka, 1981. - S. 119-151. — 438 s.