Farma Lemma

Fermatovo lemma říká, že derivace diferencovatelné funkce v bodě lokálního extrému je rovna nule.

Pozadí

Newton tuto skutečnost označil jako tzv. . princip zastavení [1] :

Když je velikost největší nebo nejmenší ze všech možných, pak v tu chvíli neproudí ani dopředu, ani dozadu.Isaac Newton

Předložil Nicholas Orezmsky ve své doktríně zeměpisných šířek a délek [2] .

Formulace

Nechť má funkce lokální extrém ve vnitřním bodě definičního oboru . Nechť existují i jednostranné konečné nebo nekonečné derivace. Pak $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x\in M^{0}$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

jestliže je místní maximální bod , pak $x_{0}$ $f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0;$
pokud je místní minimální bod , pak $x_{0}$ $f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0.$

Zejména, pokud má funkce derivaci , pak $F$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0.

Důkaz

Předpokládejme, že . Pak . $f(x_{0})=\max _{{x\in (a,b)}}f(x)$ $\forall x\in (a,b)\dvojtečka f(x)\leqslant f(x_{0})$

Proto:

f'_{-}(x_{0})=\lim _{{x\to x_{0}-0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}}\vpravo)\geqslant 0,

f'_{+}(x_{0})=\lim _{{x\to x_{0}+0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}}\vpravo)\leqslant 0.

Pokud je derivace definována, pak dostaneme $f'(x_{0})$

0\leqslant f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\leqslant 0

to je . $f'(x_{0})=0$

Jestliže je lokální minimální bod funkce , pak je důkaz podobný. $x_{0}$ $F$

Poznámka

Derivace diferencovatelné funkce v lokálním extrémním bodě je rovna nule. Jeho tečna v tomto bodě je rovnoběžná s osou x . Opak, obecně řečeno, neplatí, to znamená, že od rovnosti k nule derivace v určitém bodě nenásleduje přítomnost lokálního extrému v tomto bodě.

Příklady

Nechte _ Potom je místní minimální bod a $f(x)=|x|$ $x=0$

f'_{+}(0)=1\geqslant 0

, (funkce samotná není v bodě diferencovatelná ).

f'_{-}(0)=-1\leqslant 0

x=0

Nechte _ Potom je místní minimální bod a $f(x) = x^2$ $x=0$

f'(0)=0

Nechte _ Pak $f(x)=x^{3}$

f'(0)=0

, ale bod není lokálním extrémem.

x=0

Viz také

Poznámky

↑ Fikhtengolts G. M. Kapitola XIV. Historický náčrt vzniku hlavních myšlenek matematické analýzy // Základy matematické analýzy. - 4. vyd. - Petrohrad. : "Lan", 2002. - T. 1. - S. 423. - 448 s. - (Učebnice pro vysoké školy. Odborná literatura). - 5000 výtisků. — ISBN 5-9511-0010-0 .
↑ Isaac Newton. Poznámky překladatele // Isaac Newton. Matematická díla = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. zv. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Překlad z latiny, úvodní článek a komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského .. - M. - L . : ONTI, 1937. - S. 318. - 452 s. - ( Klasik přírodních věd ). Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 17. ledna 2011. Archivováno z originálu 27. února 2011. (neurčitý)