Vzorec pro produkt korangů

Vzorec součinu korku je matematický vzorec, který vyjadřuje korozměr množiny bodů, ve kterých má jádro derivace mapování daný rozměr jako součin korků daného mapování v předobraze a obrázku.

Formulace

Korek lineárního zobrazení v předobrazu (na obrázku) je číslo (respektive ), kde je hodnost zobrazení . Korangy jsou vztaženy k rozměru jádra (označujeme ho ) pomocí vzorců: a [1] . ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $pan$ $nr$ $r$ $A$ $A$ $i$ $mr=i$ $nr=n-m+i$

Dovolit být hladké mapování hladké manifolds a rozměry a , resp. Symbol označuje jeho derivaci v bodě , tedy lineární zobrazení tečných prostorů . $f:M^{m}\to N^{n}$ $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ ${\displaystyle f_{*x))$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}$

Bod patří do množiny , pokud je rozměr jádra derivace v tomto bodě . Množiny jistě pokrývají celou varietu , nicméně zpravidla ne všechny množiny v tomto řetězci jsou neprázdné (např. v případě nerovnosti , z čehož při zohlednění vztahu vyplývá , že je sada prázdná). ${\displaystyle x\in M^{m))$ $\Sigma ^{i},$ $i\geq 0,$ ${\displaystyle f_{*x))$ $i$ ${\displaystyle \Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m))$ $M^{m}$ $n>m$ $r\leq n<m$ $mr=i$ $i>0$ $\Sigma ^{0}$

Teorém. Pro mapování v obecné poloze jsou všechny sady hladké pododrůdy v . V tomto případě existuje souvislost $f:M^{m}\to N^{n}$ $\Sigma ^{i}$ $M^{m}$

m-\dim \,\Sigma ^{i}=(mr)(nr),

kde je hodnost zobrazení nazvaná vzorec součinu corank [1] . $r=mi$ $f_{*x},$

Hodnota vypočítaná tímto vzorcem může být záporná. To znamená, že odpovídající sada je prázdná. ${\displaystyle \dim \Sigma ^{i))$ $\Sigma ^{i}$

Následek. V prostoru typových matic tvoří množina hodnostních matic plynulou varietu kodimenze [1] . $(m, n)$ $r$ $(mr) (nr)$

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, — Libovolné vydání.

Poznámky

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, - Libovolné vydání.