Sardova věta

Sardův teorém je jedním z teorémů matematické analýzy , který má důležité aplikace v diferenciální geometrii a topologii , teorii katastrof a teorii dynamických systémů . [jeden]

Pojmenováno po americkém matematikovi Arthuru Sardovi . [2] V některých zdrojích se nazývá Bertini-Sardova věta [ 3] a někdy je také spojována se jmény Anthony Morse (získal dřívější konkrétní výsledek) [4] a Shlomo Sternberg (pozdější, ale obecnější výsledek ) [5] .

Formulace

Nechť je otevřená množina v prostoru a je hladká funkce třídy _ _ _ _ _ _ _ _ $U$ $\mathbb{R} ^{m}$ $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ $S\podmnožina U$ $F.$ $k\geqslant m-n+1,$ $f(S)$ $\R^n.$

Poznámky

Jak ukázal H. Whitney , stupeň hladkosti zde nelze snížit žádnou kombinací a [6] [7] $k$ $m$ $n.$

Příklad

Uvažujme identicky konstantní funkci . Všechny body její definiční oblasti jsou kritické, proto se však množina kritických hodnot skládá z jediného bodu , a proto má nulovou Lebesgueovu míru. $f\equiv f_{0}.$ $U$ $S=U.$ $f(S)$ $f_0$

Variace a zobecnění

Sarda's Lemma

Míra množiny kritických hodnot -hladké funkce je rovna nule. $C^1$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1))$

Důkaz . Bez ztráty obecnosti budeme uvažovat segment . Zvolíme číslo a rozdělíme segment na stejné části tak, aby na každé z nich fluktuace derivace nepřesáhla To lze provést díky skutečnosti, že podle podmínky lemmatu, funkce je spojitá , a protosegmentuna je na něm rovnoměrně spojitá , tj. $[a,b]=[0,1].$ $\varepsilon >0$ $[0,1]$ $n$ $F'$ $\varepsilon.$ $F'$ $[0,1]$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\ delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Označte těmi segmenty (části výše uvedeného rozdělení), které obsahují alespoň jeden kritický bod funkce , tj . je zřejmé, že pro takové segmenty platí odhad pro všechny , a tedy ( Vzorec konečných přírůstků ) pro libovolné dva poukazuje na nerovnost $\Delta _{i}$ $F,$ $\exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ ${\displaystyle x\in \Delta _{i))$ $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \ varepsilon /n.$

Pokryjeme-li každou množinu intervalem délek, získáme pokrytí množiny všech kritických hodnot intervaly, jejichž součet délek nepřesahuje . Vzhledem k libovolnosti volby čísla to znamená, že míra souboru kritických hodnot je rovna nule. $f(\Delta _{i})$ $2{\cdot }\varepsilon /n,$ $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ $\varepsilon$

Dubovitského věta

Nechť a být dvě hladké variety kladných dimenzí a a být hladká funkce třídy , kde A bod se nazývá nepravidelný , pokud je hodnost jakobiánské matice funkce v něm menší než Bod se nazývá nepravidelný , pokud alespoň pro jeden nepravidelný bod . V tomto případě se pojem nepravidelného bodu shoduje s pojmem kritického bodu funkce. V tomto případě jsou všechny body rozdělovače nepravidelné. $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ $f:M^{m}\to N^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $F$ $n.$ ${\displaystyle y\in N^{n))$ $y=f(x)$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $m\geqslant n$ $m<n$ $M^{m}$

Jestliže číslo , pak množina nepravidelných mapovacích bodů v varietě má první Baerovu kategorii , to znamená, že jde o konečné nebo spočetné sjednocení kompaktních množin, které nejsou nikde husté. $k\geqslant m-n+1,$ $F$ $N^{n}$ $N^{n}.$

Tuto větu dokázal sovětský matematik A. Ya.Dubovitsky [8] [9] [10] .

Jiné analogy

Nekonečně-dimenzionální analog Sardova teorému (pro variety v Banachových prostorech ) získal Stephen Smale [11] . Analogy pro zobrazení Hölderových a Sobolevových prostorů byly získány v [12] . Analog pro funkce snížené hladkosti byl získán v [13] .

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, — Libovolné vydání.
Zorich V. A. Matematická analýza, - Libovolné vydání.
Milnor J., Wallace A. Diferenciální topologie (počáteční kurz), - Libovolné vydání.
Hirsch M. Diferenciální topologie, - Libovolné vydání.
Spivak M. Matematická analýza na varietách, - M.: Mir, 1968.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie. Metody a aplikace, - Libovolné vydání.
Sard A. Míra kritických hodnot diferencovatelných map, Bull. amer. Matematika. Soc., 48 (1942), str. 883-890.
Sternberg S. Přednášky o diferenciální geometrii, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Pontryagin LS Hladké variety a jejich aplikace v teorii homotopie. — M.: Nauka, 1985. — 176 s.

Poznámky

↑ Arnold V. I. Další kapitoly teorie obyčejných diferenciálních rovnic, odstavec 10.
↑ Sard A. Míra kritických hodnot diferencovatelných map, - Bull. amer. Matematika. Soc., 48 (1942), str. 883-890. . Získáno 7. května 2010. Archivováno z originálu 12. října 2012. (neurčitý)
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, odstavec 2.
↑ Morse AP Chování funkce na její kritické množině. — Annals of Mathematics, sv. 40, č. 1 (1939), str. 62-70.
↑ Sternberg S. Přednášky o diferenciální geometrii.
↑ Zorich V. A. Matematická analýza, svazek II, kapitola XI, odstavec 5.
↑ Whitney H. Funkce, která není konstantní na připojené sadě kritických bodů, - Duke Math. J. 1 (1935), 514-517.
↑ Dubovitsky A. Ya O diferencovatelných zobrazeních n - rozměrné krychle do k - rozměrné krychle. Rohož. Sb., 1953, 32(74):2, s. 443-464.
↑ Dubovitsky A. Ya O struktuře množin úrovní diferencovatelných zobrazení n - rozměrné krychle do k - rozměrné krychle. Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat., 1957, 21:3, str. 371-408.
↑ Pontryagin L. S. Smooth manifolds a jejich aplikace v teorii homotopie, - Libovolné vydání.
↑ Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem, - American Journal of Mathematics, sv. 87, č. 4 (1965), str. 861-866.
↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sardova věta pro zobrazení v Holderově a Sobolevově prostoru, - Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383-397.
↑ Korobkov M. V. K analogii Sardovy věty pro -hladké funkce dvou proměnných, - Siberian Mathematical Journal, 2006, 47:5, s. 1083-1091. $C^1$