Spinor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Spinor ( angl. spin - rotation) je speciální zobecnění pojmu vektor , používané k lepšímu popisu skupiny rotací euklidovského nebo pseudoeuklidovského prostoru.

Podstatou spinorového popisu prostoru V je konstrukce pomocného komplexního lineárního prostoru S tak, že V je vnořen (do tenzorového součinu prostoru S komplexně sdruženým k sobě samému). $S\otimes S^{*}$

Prvky prostoru S a se nazývají "spinor"; často (i když ne nutně) postrádají jakýkoli přímý geometrický význam.

Na spinory je však možné „téměř“ definovat působení skupiny rotací, a to: rotace působí na spinora až do neurčitého komplexního faktoru rovného v modulu 1 (v jednoduchých případech až ±1). mohou být reprezentovány jako běžné komplexní vektory , ale v prostoru s antisymetrickou metrikou, například:

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Spinorové indexy mohou být tečkované a netečkované, protože u některých indexů je spinor transformován jako komplexní konjugát.

Jestliže původní prostor V byl uvažován přes pole reálných čísel , pak vektory od V budou popsány v S hermitovskými maticemi . $\mathbb {R}$

Matematicky přesné zdůvodnění takové konstrukce je provedeno pomocí Cliffordovy algebry vytvořené ze studovaného prostoru V.

Spinory poprvé zvažoval v matematice E. Cartan v roce 1913 . Znovu je objevil v roce 1929 B. van der Waerden v souvislosti s výzkumem kvantové mechaniky .

Definice

Spinor první řady je vektor ve dvourozměrném komplexním prostoru, který se transformuje podle vzorců: $a=(a_{1},a_{2})$

a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}

a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}

s transformačním determinantem rovným jedné:

{\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}}=1

Spinor je také označován jako . $A$ $a_{k},(k=1,2)$

Koeficienty jsou komplexní čísla. $\alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)$

Pro každý spinor existuje cospinor ve dvourozměrném komplexním prostoru, který je transformován pomocí vzorců: $b=(b_{\tečka {1)),b_{\tečka {2)))$

b_{\tečka {1}}^{'}={\bar {\alpha _{11}}}b_{\tečka {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\tečka {2}}

b_{\tečka {2}}^{'}={\bar {\alpha _{21}}}b_{\tečka {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\tečka {2}}

kde pomlčky označují komplexně konjugované veličiny. Indexy cospinorů jsou označeny tečkami. [jeden]

Spinory vyšších řádů jsou veličiny, které jsou transformovány jako produkty spinorů prvního řádu. Například spinor druhé řady se transformuje jako součin spinorů první řady . Smíšený spinor druhé řady se transformuje jako součin spinorů první řady . $a_{kl}(k,l=1,2)$ $a_{{k}}b_{{l}}$ $a_{{\tečka {k}}l}({\tečka {k}},l=1,2)$ $a_{\tečka {k}}b_{l}$

Ve spinorové algebře, stejně jako v algebře tenzorové, platí pravidlo sčítání nad indexy opakovanými výše a níže a existuje metrický spinor druhé řady a je definován takto: $e^{{kl}}$

a^{{k}}=e^{{kl}}a_{{l}}

a_{{k}}=e_{{kl}}a^{{l}}

e_{kl}=e_{lk}=e_{{\tečka {k}}{\tečka {l}}}=e_{{\tečka {l}}{\tečka {k}}}={\začátek{ pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

e^{kl}=e^{lk}=e^{{\tečka {k}}{\tečka {l}}}=e^{{\tečka {l}}{\tečka {k}}}= {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Vlastnosti

Souřadnice spinorů a cospinorů jsou spojeny pomocí následujících vztahů:

a^{1}=a_{2}

.. _

b^{\tečka {1}}=b_{\tečka {2}}

a^{2}=-a_{1}

.. _

b^{\tečka {2}}=-b_{\tečka {1}}

Absolutní hodnota libovolného spinora liché úrovně je nula:

a_{{l}}a^{{l}}=0

a_{{lmn}}a^{{lmn}}=0

a^{{l}}b_{{l}}c_{{m}}+a_{{l}}b_{{m}}c^{{l}}+a_{{m}}b^{{ l}}c_{{l}}=0

[2] .

Spinory se používají k zavedení diferenciálních operátorů, které jsou při binárních transformacích invariantní.

Složky čtyřrozměrného gradientu odpovídají operátorům:

\částečné _{1}^{1}=\částečné _{{\tečka {2}}1}={\frac {\částečné }{\částečné x^{1}}}+i{\frac {\částečné }{\částečné x^{2))}

-\částečné _{2}^{\tečka {2}}=\částečná _{{\tečka {1}}2}={\frac {\částečná }{\částečná x^{1}}}-i{ \frac {\částečné }{\částečné x^{2))}

-\částečná _{1}^{\tečka {2}}=\částečná _({\tečka {1}}{\tečka {1}}}={\frac {\částečná }{\částečná x^{3 ))}-{\frac {\částečné }{\částečné x^{4))}

-\částečné _{2}^{\tečka {1}}=\částečná _{{\tečka {2}}2}={\frac {\částečná }{\částečná x^{3}}}+{\ frac {\částečné }{\částečné x^{4))}

[1] .

Trojrozměrný prostor

Pro reprezentaci 3-rozměrného prostoru jako S je nutné vzít 2-rozměrný komplexní prostor $S={\mathbb {C} }^{2}.$

Vektory trojrozměrného prostoru budou odpovídat maticím s nulovou stopou .

Spinory 3-rozměrného euklidovského prostoru mají algebru blízkou algebrám vnitřních a vektorových součinů . Tato algebra připouští vhodný popis v podmínkách hamiltonovských čtveřic . Konkrétně s každým vektorem x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) z reálných (nebo komplexních ) čísel můžete přiřadit komplexní matici :

{\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=\left( {\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right),

kde jsou Pauliho matice (jsou spojeny se základními vektory e 1 , e 2 , e 3 ). $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end {pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Matice X tohoto tvaru, spojené s vektory x , mají následující vlastnosti, které je vnitřně spojují s geometrií 3-rozměrného prostoru:

det X = −(délka x ) 2 .
X2 = (délka x ) 2I , kde I je matice identity.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.$
${\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ,$ kde Z je matice spojená s křížovým součinem z = x × y .
Jestliže u je jednotkový vektor, pak UXU je matice spojená s vektorem získaným z x odrazem v rovině kolmé k u .
Podle lineární algebry je jakákoli rotace v trojrozměrném prostoru reprezentovatelná jako dva odrazy. (Podobně jakákoli reverzní ortogonální transformace je buď odrazem nebo součinem tří (obecně lichého počtu) odrazů.) Je-li tedy R rotace reprezentovatelná jako dva po sobě jdoucí odrazy v rovinách kolmých na jednotkové vektory u 1 a u 2 , pak matice U 2 U 1 XU 1 U 2 představuje rotaci R vektoru x .

S efektivním způsobem reprezentace celé geometrie rotací 3-rozměrného prostoru jako množiny komplexních matic 2×2 je přirozené přemýšlet, jakou roli hrají matice 2×1, pokud vůbec nějakou. Nazvěme dočasně sloupcový vektor spinor:

\xi =\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right],

s komplexními složkami ξ 1 a ξ 2 . Je zřejmé, že komplexní matice 2×2 působí ve spinorovém prostoru. Navíc součin dvou odrazů (pro danou dvojici jednotkových vektorů) definuje matici 2x2, jejíž působením na euklidovské vektory je rotace, takže rotuje spinory. Je zde ale důležitá vlastnost – faktorizace rotace není ojedinělá. Je jasné, že pokud X → RXR −1 představuje rotaci, pak nahrazení R za − R dá stejnou rotaci. Ve skutečnosti lze snadno ukázat, že toto je jediná nejistota, která vzniká. Působení rotační operace na spinor je vždy dvouhodnotové.

Minkowského prostor

Pokud ke třem Pauliho maticím přidáme matici identity (číslovanou 0) , dostaneme spinorovou reprezentaci Minkowského prostoru M :

X=\sigma _{\mu }x^{\mu },\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.

V tomto případě budou světlu podobné vektory (o délce nula) odpovídat degenerovaným maticím ve tvaru , kde . $\pm {\bar {\psi }} \otimes \psi$ $\psi \in S$

Korespondence mezi Minkowského prostorem a 2×2 Hermitovými maticemi: M ≈Herm(2) bude jedna ku jedné .

Spinori ve fyzice

Spinory nejsou v žádném případě čistě abstraktní konstrukcí, která se nijak neprojevuje ve vztahu ke geometrii reality. Mnoho veličin, se kterými se v kvantové mechanice setkáváme, jsou spinory (viz rotace , Diracova rovnice ). V relativistické úvaze je použita výše uvedená spinorová reprezentace Minkowského prostoru. Například existuje poměrně jednoduchá spinorová reprezentace Maxwellových rovnic .

Při nízkých rychlostech se používají 3-rozměrné spinory.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Van der Werden B. L. Metoda teorie grup v kvantové mechanice , M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Základní vzorce fyziky, ed. D. Menzela, M., IL, 1957

Literatura

Dirac P. Spinors v Hilbertově prostoru / Per. z angličtiny. — M.: Mir, 1978. — 126 s.
Zhelnorovich VA Teorie spinorů a její aplikace ve fyzice a mechanice. — M.: Nauka, 1982. — 272 s.
Zhelnorovich VA Teorie spinorů a její aplikace. — M.: August-Print, 2001. — 400 s. — ISBN 5-94681-001-4
Cartan E. Teorie spinorů / Per. z francouzštiny — M.: GIIL, 1947.
Penrose R. , Rindler W. Spinors a časoprostor. Svazek 2 / Překlad z angličtiny. — M.: Mir, 1988. — 584 s.
Rashevsky P. K. Teorie spinorů. - Ed. 2. - M .: KomKniga, 2006. - 112 s. — ISBN 5-484-00348-2
Rumer Yu. B. Spinorova analýza. - M.-L.: ONTI, 1936. - 104 s.
Yappa Yu.A. Úvod do teorie spinorů a její aplikace ve fyzice: Učebnice / Ed. V. A. Franke. - Petrohrad. : St. Petersburg State University, 2004. - 256 s. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Odkazy

[bse.sci-lib.com/article105279.html "Spin Calculus"] v TSB .