Glosář algebraické geometrie

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

A

odrůda abelian Kompletní algebraická grupa. Například komplexní varieta nebo eliptická křivka nad konečným polem .

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n))

E

\mathbb {F} _{q}

algebraická grupa Algebraická grupa je algebraická varieta , která je také grupou a grupové operace jsou morfismy variet. algebraické schéma Oddělitelné schéma konečného typu nad polem. Například algebraická varieta je redukované neredukovatelné algebraické schéma. algebraický vektorový svazek Lokálně volný svazek konečné úrovně. algebraická odrůda Celočíselné oddělitelné schéma konečného typu nad polem. algebraická množina Redukované separovatelné schéma konečného typu nad polem. Algebraická varieta je redukované neredukovatelné algebraické schéma. aritmetický rod Aritmetický rod projektivní variety X dimenze r je .

(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)

artinské schéma 0-rozměrné noetherovské schéma. afinní 1. Afinní prostor je, zhruba řečeno, vektorový prostor , ve kterém jsme zapomněli, který bod je počátkem. 2. Afinní varieta je varieta v afinním prostoru. 3. Afinní schéma je schéma izomorfní ke spektru nějakého komutativního kruhu. 4. Morfismus se nazývá afinní , pokud je předobraz libovolné otevřené afinní podmnožiny afinní. Důležité třídy afinních morfismů jsou vektorové svazky a konečné morfismy .

B

biracionální morfismus Biracionální morfismus schémat je morfismus schémat, který vyvolává izomorfismus jejich hustých otevřených podmnožin. Příkladem biracionálního morfismu je mapování vyvolané vyhozením do povětří .

G

geometrický rod Geometrický rod hladké projektivní variety X dimenze n je

\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})

(kde rovnost je Serreova věta o dualitě . hladký 1. Hladké morfismy jsou vícerozměrnou obdobou étalových morfismů. Existuje několik různých definic hladkosti. Následující definice hladkosti morfismu f : Y → X jsou ekvivalentní: 1) pro libovolný bod y ∈ Y existují otevřená afinní okolí V a U bodů y , x = f ( y ), v tomto pořadí, takže omezení f na V se rozkládá na kompozici etalového morfismu a projekci z n - rozměrný projektivní prostor nad U . 2) f je ploché, lokálně konečně prezentované a pro jakýkoli geometrický bod v Y (morfismus z algebraicky uzavřeného pole v Y ) je geometrické vlákno hladkou varietou ve smyslu klasické algebraické geometrie.

{\bar {y}}

k({\bar {y)))

X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}})))

k({\bar {y)))

2. Hladké schéma nad dokonalým polem k je regulární schéma lokálně konečného typu. 3. Schéma X nad polem k je hladké, pokud je geometricky hladké: schéma je hladké.

X\times _{k}{\overline {k))

Picard skupina Picardova grupa X je skupina tříd izomorfismu svazků čar na X , jejichž grupová operace je tenzorový součin .

D

dominantní Morfismus f : X → Y je považován za dominantní , pokud je obraz f ( X ) hustý . Morfismus afinních schémat Spec A → Spec B je dominantní právě tehdy, když jádro odpovídajícího zobrazení B → A je obsaženo v nilradikálu B . dualizační paprsek Koherentní svazek na X takový, že Serre dualita

\omega _{X}

H^{ni}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}

platí pro libovolný koherentní svazek F na X ; například, jestliže X je hladká projektivní varieta, pak je to kanonický svazek .

W

ZAVŘENO Uzavřené dílčí obvody obvodu X jsou konstruovány pomocí následující konstrukce. Nechť J je kvazi-koherentní svazek ideálů. Nosič kvocientového svazku je uzavřená podmnožina Z X a je to schéma, nazývané uzavřené podschéma, definované kvazikoherentním ideálním svazkem J [1] . Důvod, proč definice uzavřeného podobvodu závisí na takové konstrukci, je ten, že na rozdíl od otevřených podmnožin nemají podmnožiny uzavřených obvodů jedinečnou strukturu obvodu.

{\mathcal {O}}_{X}/J

(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})

K

kanonický model Kanonický model je Proj kanonického kruhu (předpokládá se, že je generován s konečnou platností). kanonický 1. Kanonický svazek na normální varietě X dimenze n je svazkem diferenciálních forem stupně n na podmnožině hladkých bodů .

{\displaystyle \omega _{X}=i^{*}\Omega _{U}^{n))

i:U\to X

2. Kanonická třída na normální odrůdě X je třída dělitele taková, že .

K_{X}

{\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}

3. Kanonický dělitel je zástupcem kanonické třídy označené stejným symbolem (není jednoznačně definován).

K_{X}

4. Kanonický prstenec na normálním rozdělovači X je prstenec sekcí kanonického svazku. tečný prostor Viz Zarisského tečný prostor . kvazikompaktní morfismus O morfismu f : Y → X se říká, že je kvazikompaktní, jestliže pro některé (a pak pro jakékoli) otevřené afinní pokrytí X množinami U i = Spec B i jsou inverzní obrazy f −1 ( U i ) kompaktní . . kvazifinitní morfismus Morfismus konečného typu, který má konečná vlákna. kvazi-oddělitelný O morfismu f : Y → X se říká, že je kvazi-oddělitelný, pokud je diagonální morfismus Y → Y × X Y kvazikompaktní. Schéma Y je kvaziseparovatelné, jestliže morfismus z něj ke Spec( Z ) je kvaziseparátní [2] . jistě myslitelné Je-li y bodem Y , pak je morfismus f v y konečně prezentovatelný , pokud existuje otevřené afinní okolí U bodu f(y) a otevřené afinní okolí V bodu y takové, že f ( V ) ⊆ U a je konečně prezentovaná algebra přes (faktor konečně generovaná algebra podle konečně generovaného ideálu). Morfismus f je lokálně konečně prezentovatelný, pokud je konečně prezentovatelný ve všech bodech Y . Je-li X lokálně noetherovské, pak f je lokálně konečně reprezentovatelné právě tehdy, když je lokálně konečného typu [3] . Morfismus f : Y → X je konečně zobrazitelný, pokud je lokálně konečný, kvazikompaktní a kvaziseparovatelný. Je-li X lokálně noetherovské, pak f je konečně reprezentovatelné právě tehdy, když je konečného typu.

{\mathcal {O}}_{Y}(V)

{\mathcal {O}}_{X}(U)

konečný morfismus Morfismus f : Y → X je konečný, pokud může být pokryt otevřenými afinními množinami tak, že každá je afinní — má tvar — a je definitivně generována jako -modul.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

sekční kroužek Sekční kroužek svazku vedení L na X je odstupňovaný kroužek .

\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})

L

lokálně noetherské schéma Schéma pokryté spektry Noetherových prstenců . Pokud existuje konečný počet spekter, schéma se nazývá noetherovské. místní faktoriální schéma Schéma, jehož místní kruhy jsou faktoriální .

M

Odrůda Fano Hladká projektivní odrůda , jejíž antikanonický svazek je bohatý.

{\displaystyle \omega _{X}^{-1))

Hilbertův polynom Hilbertův polynom projektivního schématu X nad polem je Eulerova charakteristika .

f(s)=\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s)

morfismus (lokálně) konečného typu Morfismus f : Y → X je lokálně konečného typu, pokud může být pokryt otevřenými afinními podmnožinami tak, že každý předobraz může být pokryt otevřenými afinními podmnožinami , kde je každý definitivně generován jako -algebra. Morfismus f : Y → X je konečného typu, pokud jej lze pokrýt otevřenými afinními podmnožinami , takže každý předobraz může být pokryt konečným počtem otevřených afinních podmnožin , kde každá je nakonec generována jako -algebra.

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

X

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

A

B

H

neredukovatelný obvod Schéma se nazývá neredukovatelné, pokud (jako topologický prostor) není spojením dvou řádných uzavřených podmnožin. nerozvětvený morfismus Pro bod zvažte odpovídající morfismus místních prstenců

y\in Y

f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}

. Nechť je maximální ideál a nech

{\mathfrak {m))

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)))

{\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}

je ideál generovaný obrázkem v . Morfismus se nazývá nerozvětvený, pokud je lokálně konečného typu a pro všechny je maximálním ideálem kruhu a indukovaného zobrazení.

{\mathfrak {m))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

F

y\in Y

{\mathfrak {n))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

{\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}

je konečné oddělitelné rozšíření pole. normální okruh Celé schéma se nazývá normální, pokud jsou jeho místní kruhy integrálně uzavřené .

Oh

hojný Dostatečný svazek čar je svazek čar, jehož určitá tenzorová síla je velmi dostatečná. obraz Jestliže f : Y → X je morfismus schémat, pak schéma-teoretický obraz f je jednoznačně definované uzavřené podschéma i : Z → X , které splňuje následující univerzální vlastnost:

f prochází přes i ,
jestliže j : Z ′ → X je libovolný uzavřený podobvod X takový, že f prochází j , pak i prochází j . [čtyři]

oddělitelný Oddělitelný morfismus je takový morfismus , kdy je úhlopříčka vláknitého výrobku sama se sebou uzavřená. V důsledku toho je obvod oddělitelný, když je diagonální zapouzdření v produktu obvodu samo o sobě uzavřené zapouzdření. Všimněte si, že topologický prostor Y je Hausdorff právě tehdy, když je diagonální vložení

F

F

X

X

X

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y

ZAVŘENO. Rozdíl mezi topologickým a algebrogeometrickým případem je v tom, že topologický prostor schématu se liší od součinu topologických prostorů. Jakékoli afinní schéma Spec A je oddělitelné, protože úhlopříčka odpovídá surjektivnímu mapování prstenců

X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X

A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapto a\cdot a'

. otevřený podobvod Otevřený podobvod obvodu X je otevřená podmnožina U se strukturním svazkem .

{\mathcal {O}}_{X}|_{U}

velmi hojné Svazek čar L na rozdělovači X je velmi dostatečný, pokud lze X zapustit do projektivního prostoru, takže L je omezení kroucení Serreho svazku O (1).

P

plochý morfismus Morfismus indukující rovinná zobrazení vláken . Kruhový homomorfismus A → B se nazývá plochý, pokud dělá B plochým A -modulem. plurirod N-tým plurigenem hladké projektivní odrůdy je .

\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})

zmenšený diagram Schéma, jehož místní kruhy nemají nenulové nilpotenty. projektivní 1. Projektivní varieta je uzavřená podvarieta projektivního prostoru . 2. Projektivní schéma nad schématem S je S - schéma, které prochází nějakým projektivním prostorem jako uzavřené podschéma.

\mathbf {P} _{S}^{N}\to S

3. Projektivní morfismy jsou definovány podobně jako afinní morfismy: f : Y → X se nazývá projektivní, pokud se rozloží na kompozici uzavřeného vnoření a projekci projektivního prostoru na .

\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X

X

R

inflace Zvětšení je biracionální transformace, která nahrazuje uzavřený podobvod efektivním Cartierovým dělitelem. Přesněji řečeno, pro noetherovské schéma X a uzavřené podschéma je zvětšení Z v X správný morfismus takový, že (1) je efektivní Cartierův dělitel, nazývaný výjimečný dělitel, a (2) je univerzální objekt s vlastnost (1).

Z\subset X

\pi :{\widetilde {X}}\to X

\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X))

\pi

rozměr Kodaira Dimenze kanonického modelu. pravidelný vzor Schéma, jehož místní kruhy jsou pravidelné místní kruhy . rod Viz #aritmetický rod , #geometrický rod .

C

připojeno Schéma je připojeno, pokud je připojeno jako topologický prostor. Afinní schéma Spec(R) je připojeno právě tehdy, když kruh R nemá žádné idempotenty jiné než 0 a 1. vrstva Pro morfismus schématu je vrstva f nad y jako množina inverzním obrazem ; má strukturu přirozeného schématu nad zbytkovým polem bodu y jako vláknitý produkt , kde má strukturu přirozeného schématu nad Y jako spektrum zbytkového pole bodu y .

f:X\to Y

{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\))

{\displaystyle X\times _{Y}\{y\))

\{y\}

vlastní morfismus Separovatelný univerzálně uzavřený morfismus konečného typu. O morfismu schématu f : X → Y se říká, že je univerzálně uzavřený, jestliže pro jakékoli schéma Z s morfismem Z → Y je projekce z vláknitého součinu uzavřené mapování topologických prostorů (přenáší uzavřené množiny na uzavřené množiny).

X\times _{Y}Z\to Z

systém Schéma je místně prstencový prostor , místně izomorfní ke spektru komutativního prstence .

T

tečka Schéma je lokálně prstencový prostor, a tedy topologický prostor, ale slovo bod má tři významy:

S

S

bod základního topologického prostoru; $P$
$T$ -point je morfismus od do pro libovolné schéma ; $S$ $T$ $S$ $T$
geometrický bod schématu definovaného přes (s morfismem do) , kde je

pole , je morfismus od do , kde je algebraický uzávěr .

S

{\textrm {Spec}} (K)

K

{\textrm {Spec))({\overline {K)))

S

{\overline {K}}

K

C

celé schéma Redukované neredukovatelné schéma. Pro lokálně noetheriánské schéma je integrální totéž jako být připojen a pokryt spektry domén integrity

E

etal Morfismus f : Y → X je etale, pokud je plochý a nerozvětvený. Existuje několik dalších ekvivalentních definic. V případě hladkých variet a přes algebraicky uzavřené pole jsou etalové morfismy morfismy, které vyvolávají izomorfismus tečných prostorů , což je stejné jako obvyklá definice etalových zobrazení v diferenciální geometrii.

X

Y

df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X

efektivní Cartierův dělitel Efektivní Cartierův dělitel na schématu X nad S je uzavřené podschéma X , které je ploché nad S a jehož ideální svazek je invertibilní .

Poznámky

↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , 4.1.2 a 4.1.3.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1964 , 1.2.1.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , §1.4.
↑ The Stacks Project Archived 16. března 2012 na Wayback Machine , kapitola 21, §4.

Literatura

Hartshorne R. Algebraická geometrie / přel. z angličtiny. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Fulton, William (1998), Intersection theory , sv. 2, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Fólie. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Výsledky v matematice a příbuzných oblastech. 3. série. A Series of Modern Surveys in Mathematics], Berlín, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publikace Mathématiques de l'IHES . 4 . doi : 10.1007/ bf02684778 . MR 0217083 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). „Elements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie” . Publikace Mathématiques de l'IHES . 20 . doi : 10.1007/ bf02684747 . MR 0173675 .