Dělitel (algebraická geometrie)

V algebraické geometrii jsou dělitelé zobecněním podvariet nějaké algebraické variety kodimenze 1. Existují dvě různá taková zobecnění - Weylovi dělitelé a Cartierovi dělitelé (pojmenovaní po André Weylovi a Pierru Cartierovi ), tyto pojmy jsou ekvivalentní v případě variet ( nebo schémata ) bez singularit .

Weilovy dělitele

Definice

Weylův dělitel na algebraické rozmanitosti (nebo obecněji na noetherovském schématu ) je konečná lineární kombinace , kde jsou ireducibilní uzavřené podmnožiny a jsou celočíselné koeficienty. Je zřejmé, že Weylovi dělitelé tvoří abelovskou skupinu s ohledem na sčítání; tato skupina se nazývá. Dělitel tvaru se nazývá jednoduchý a dělitel, jehož všechny koeficienty jsou nezáporné, se nazývá efektivní . $X$ ${\součet _{i}n_{i}[Z_{i}]}$ $[Z_{i}]$ $X$ $n_{i}$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ $[Z]$ $n_{i}$

Třída dělitele skupina

Předpokládejme, že schéma je celé , oddělitelné a pravidelné v kodimenzi 1 (tyto vlastnosti platí zejména pro hladké algebraické variety). Regularita v kodimenzi 1 znamená, že místní generický bodový kruh jakékoli neredukovatelné uzavřené podmnožiny kodimenze 1 je pravidelný (a noetherovský, protože jde o lokalizaci noetherovského kruhu), a proto je diskrétním oceňovacím kruhem . Jakákoli racionální funkce na (prvek pole kvocientů kruhu regulárních funkcí ) má v tomto kruhu nějakou normu. Jestliže norma racionální funkce je větší než nula pro nějakou neredukovatelnou podmnožinu , pak se říká, že racionální funkce má nulu na , a je-li menší než nula, má pól. Protože je schéma noetherovské, vyplývá z toho, že norma racionální funkce se nerovná nule pouze pro konečný počet ireducibilních podmnožin, takže každá racionální funkce je spojena s dělitelem označeným . Dělitelé, které lze získat tímto způsobem, se nazývají hlavní dělitelé . $X$ $X$ $K[X]$ $Y$ $Y$ $(F)$

Protože hlavní dělitelé tvoří podskupinu v . Faktorová skupina podle podskupiny hlavních dělitelů se nazývá třída dělitelů a označuje se . Vlastní třídní grupa dělitele je zajímavým invariantem schématu (triviálnost grupy tříd afinního schématu je kritériem faktoriality kruhu za předpokladu, že je noetherovský a integrálně uzavřený ) [1] , a také v některých případech, umožňuje klasifikovat všechny jednorozměrné svazky v daném schématu. $(fg)=(f)+(g)$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ ${\mathrm {Cl}}\,X$ ${\mathrm {Spec}}A$ $A$ $A$

Weilovy děliče a svazky čar

Nechť je svazek čar nad (celé, noetherovské, pravidelné v kodimenzi 1) schéma ; odpovídá svazku sekcí lokálně izomorfních s kruhem pravidelných funkcí na . Pomocí těchto izomorfismů může být jakýkoli racionální úsek daného svazku (tj. úsek nad nějakou otevřenou hustou podmnožinou) spojen s dělitelem jeho nul a pólů, označeným [2] . Dva různé racionální úseky se liší v násobení racionální funkcí, takže toto srovnání definuje dobře definované zobrazení z Picardovy grupy do skupiny tříd dělitelů: . Lze také zkontrolovat, že toto zobrazení je homomorfismus (součet dělitelů odpovídá tenzorovému součinu svazků), v případě normálního schématu je injektivní a v případě lokální faktoriality schématu je surjektivní [3 ] . Zejména všechny tyto podmínky jsou splněny pro hladké algebraické variety, což dává klasifikaci svazků čar nad nimi až po izomorfismus. Například všechny jednorozměrné svazky přes afinní lokálně faktoriální schéma jsou triviální, protože jejich třídní skupina dělitele je triviální. ${\mathcal L}$ $X$ $X$ $s$ ${\mathrm {div}}\,s$ ${\mathrm {div}}:{\mathrm {Pic}}\,X\to {\mathrm {Cl}}\,X$

Cartierovy dělitele

Pro práci s libovolnými schématy, která mají singularity, je často vhodnější jiné zobecnění konceptu podvariety kodimenze 1 [4] . Nechť je nějaké pokrytí schématu afinními schématy a je rodina racionálních funkcí na odpovídajících (v tomto případě racionální funkce znamená prvek úplného okruhu kvocientů). Pokud jsou tyto funkce kompatibilní v tom smyslu, že se liší násobením invertibilní regulární funkcí, pak tato rodina definuje Cartierova dělitele. $U_{i}$ $X$ $f_{i}$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$

Přesněji, nechť je úplný okruh zlomků okruhu regulárních funkcí (kde je libovolná afinní [5] otevřená podmnožina). Protože afinní podmnožiny tvoří základ topologie , všechny jednoznačně definují předsvazek na a odpovídající svazek je označen . Cartierův dělitel je globální sekce podílového svazku , kde je svazek reverzibilních regulárních funkcí. Existuje přesná posloupnost , když na ni použijeme levý přesný funktor globálních sekcí , získáme přesnou posloupnost . Cartierovy dělitele ležící v obrazu mapování z se nazývají hlavní dělitelé . $K(U)$ ${\mathcal O}_{X} (U)$ $U$ $X$ $K(U)$ $X$ ${\mathcal K}_{X}^{*}$ ${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ ${\mathcal O}_{X}^{*}$ $0\do {\mathcal O}_{X}^{*}\do {\mathcal K}_{X}^{*}\do {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\na 0$ $0\do \Gamma (X,{\mathcal O}_{X}^{*})\do \Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})\do \Gamma (X, {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\to H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{* })$ $\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$

Existuje přirozený homomorfismus od grupy Cartierových dělitelů (grupová operace odpovídá násobení funkcí) až po grupu Weylových dělitelů; pokud je celé oddělitelné noetherovské schéma, jehož všechny místní kruhy jsou faktoriální, je toto zobrazení izomorfismus. V případě, že podmínka lokální faktoriality není splněna, Cartierovi dělitelé lokálně odpovídají hlavním Weylovým dělitelům (dělitelům, kteří jsou definováni jako nuly nějaké racionální funkce v okolí každého bodu). Příkladem Weilova dělitele, který není Cartierovým dělitelem, je přímka v kvadratickém kuželu procházející jeho vrcholem. $X$ ${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$

Cartierův dělitel, stejně jako Weylův dělitel, může být spojen se svazkem čar (nebo ekvivalentně s invertibilním svazkem ). Zobrazení z faktorové grupy Cartierových dělitelů přes podgrupu hlavních dělitelů do Picardovy grupy je injektivní homomorfismus a v případě projektivních nebo celých schémat je surjektivní.

Efektivní Cartierovy dělitele

Cartierův dělitel je považován za efektivní, pokud jsou všechny funkce, které jej definují, regulární na odpovídajících množinách . V tomto případě je invertibilní svazek odpovídající děliteli svazkem ideálů , tedy svazkem funkcí, které zanikají na nějakém uzavřeném podschématu. Naopak toto uzavřené podschéma jednoznačně definuje efektivního dělitele, takže efektivní Cartierovy dělitele lze definovat jako uzavřená podschéma , která lze lokálně definovat jako množinu nul jedné funkce, která není nulovým dělitelem [6] . Na celém oddělitelném noetherovském schématu, jehož lokální kruhy jsou faktoriální, efektivní Cartierovy dělitelé přesně odpovídají efektivním Weylovým dělitelům [7] . $f_{i}$ $U_{i}$ $X$ $X$

Poznámky

↑ Hartshorne, 1981 , s. 174.
↑ Ravi Vakil , str. 388.
↑ Ravi Vakil , str. 389,391.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 185.
↑ Kleiman, 1979 .
↑ Ravi Vakil , str. 236,396.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 191.

Literatura

R. Hartshorne. Algebraická geometrie. — M .: Mir, 1981.
Kleiman, Steven. Mylné představy o K X // L'Enseignment Mathématique. - 1979. - č. 25 . — S. 203-206. - doi : 10.5169/těsnění-50379 .

Odkazy

Ravi Vakil. MATH 216: Základy algebraické geometrie (verze 6. 11. 2013) . - poznámky z kurzu algebraické geometrie, čtené na Stanfordské univerzitě.