Prsten Bezu

Bezoutův prsten (pojmenovaný po francouzském matematikovi Etienne Bezoutovi ) je jakákoli oblast integrity, ve které je každý konečně vytvořený ideál hlavní. Z této definice vyplývá, že Bezoutův kruh je noetherovský právě tehdy, když je hlavním ideálním kruhem , jehož jsou Bezoutovy kruhy zobecněním.

Integrální kruh je Bézoutův kruh tehdy a jen tehdy, když kterékoli dva prvky v tomto kruhu mají největšího společného dělitele (GCD), který může být reprezentován jako jejich lineární kombinace. (Tato podmínka znamená, že každý ideál se dvěma generátory připouští jeden generátor, z čehož indukcí vyplývá, že každý konečně generovaný ideál je hlavní.) Reprezentace gcd dvou prvků jejich lineární kombinací se často nazývá Bezoutova identita .

Vlastnosti

Pro Bezoutův prstenec R jsou ekvivalentní následující podmínky:

1. R  je okruh hlavních ideálů.
2. R  je noetherian.
3. R  je doména s jedinečným rozkladem (faktoriální kruh).
4. R splňuje podmínku ukončení pro rostoucí řetězce hlavních ideálů.
5. Každý prvek R lze rozložit na součin neredukovatelných prvků.

Co se týče hlavních ideálních prstenců, pro Bezoutovy prstence je jakýkoli konečně generovaný modul nad nimi přímým součtem volného modulu a torzního modulu . Kromě toho je každý Bézoutův kroužek integrálně uzavřen a jakákoliv lokalizace Bézoutova kroužku je také Bézoutovým kroužkem.

Příklady

Příklady nenoetherovských Bezoutových prstenů:

• (Helmer, 1940) Okruh funkcí, které jsou holomorfní na celé komplexní rovině.
• Prstenec všech celočíselných algebraických čísel .

Literatura

• Bezu ring // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 1.
• Cohn, PM Bezoutovy kruhy a jejich podkruhy   // Proc . Cambridge Philos. Soc.. - 1968. - Sv. 64. - S. 251-264.