Polojednoduchý modul

Semijednoduché moduly ( zcela redukovatelné moduly ) jsou obecné algebraické moduly , které lze snadno obnovit ze svých částí. Prsten , který je polojednoduchým modulem přes sebe, se nazývá Artinův polojednoduchý prsten . Důležitým příkladem poloprostého kruhu je kruh grupy konečné grupy nad polem charakteristické nuly. Struktura polojednoduchých prstenců je popsána Wedderburnovou-Artinovou větou : všechny takové prsteny jsou přímými produkty maticových prstenců .

Definice

Jsou uvedeny tři ekvivalentní [1] definice poloprostého (zcela redukovatelného) modulu: modul M je polojednoduchý, pokud

1. M je izomorfní k přímému součtu jednoduchých modulů (nazývaných také neredukovatelné).
2. M lze rozložit na přímý součet jednoduchých submodulů M .
3. Pro každý N  submodul M existuje doplněk P takový, že M = N ⊕ P .

Úplná redukovatelnost je silnější podmínkou než zcela rozložitelný: zcela rozložitelný modul  je modul, který se rozkládá na přímý součet nerozložitelných . Například kruh celých čísel je zcela rozložitelný (vyplývá to z jeho nerozložitelnosti), ale není zcela redukovatelný, protože má podmoduly (například množinu sudých čísel).

Vlastnosti

• Jestliže M je polojednoduché a N  je jeho podmodul , pak N a M / N jsou také poloprosté.
• Pokud  jsou všechny polojednoduché moduly, pak je přímý součet také polojednoduchý.
• Modul M je konečně generovaný a polojednoduchý právě tehdy, je-li artinovský a jeho radikál je nulový.

Polojednoduché prsteny

Prsten se nazývá polojednoduchý (vlevo), pokud je polojednoduchý jako (levý) modul přes sebe. Ukazuje se, že levé poloprosté prsteny jsou pravé polojednoduché a naopak, takže můžeme mluvit o polojednoduchých prstenech.

Polojednoduché kruhy lze charakterizovat z hlediska homologické algebry : kruh R je polojednoduchý právě tehdy, když se každá krátká přesná sekvence (levých) R - modulů rozdělí . Zejména modul nad polojednoduchým prstencem je injektivní a projektivní .

Semisimple prsteny jsou jak artinian tak noetherian . Pokud existuje homomorfismus z pole do poloprostého kruhu, nazývá se to polojednoduchá algebra .

Příklady

• Komutativní poloprostý kruh je izomorfní k přímému součinu polí.
• Jestliže k  je pole a G  je konečná grupa řádu n , pak je kruh grupy k [ G ] poloprostý právě tehdy, když charakteristika pole nedělí n . Tento výsledek je známý jako Maschkeův teorém a je důležitý v teorii reprezentace grup .

Wedderburnova-Artinova věta

Wedderburn-Artinova věta říká, že jakýkoli polojednoduchý kruh je izomorfní s přímým součinem maticových kruhů n i podle n i s prvky v těle D i a čísla n i jsou jednoznačně definována a těla jsou až do izomorfismu jedinečná. Konkrétně, jednoduchý kruh je izomorfní k matricovému kruhu nad děleným kruhem.

Wedderburnův původní výsledek byl ten jednoduchý prsten, který je konečná-dimenzionální jednoduchá algebra přes prsten dělení, je izomorfní k prstenu matice. Emil Artin zobecnil větu na případ polojednoduchých (Artinových) prstenců.

Příklady případů, kdy lze aplikovat Wedderburnovu-Artinovu větu: každá konečnorozměrná jednoduchá algebra nad R je maticový kruh nad R , C nebo H ( čtveřice ), každá konečnorozměrná jednoduchá algebra nad C je maticový kruh nad C .

Poznámky

1. ↑ Nathan Jacobson, Základní algebra II (druhé vydání), s. 120

Literatura

• Jacobson, Nathan (1989), Základní algebra II (2. vydání), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), První kurz nekomutativních prstenů (2. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag , MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0 
• RS Pierce. Asociativní algebry . Postgraduální texty z matematiky, díl 88.