Rozdělovač

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. února 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Varianta ( topologická varieta ) je prostor lokálně podobný Euklidovu . Euklidovský prostor je nejjednodušším příkladem variety. Dimenze variety je určena dimenzí euklidovského prostoru, se kterým je lokálně podobná.

Složitějším příkladem je povrch Země : je možné vytvořit mapu jakékoli oblasti zemského povrchu, například mapu polokoule, ale není možné vytvořit jedinou (plochou a bez nespojitostí ) mapa celého jeho povrchu.

Studium variet započalo ve druhé polovině 19. století, přirozeně vznikly při studiu diferenciální geometrie a teorie Lieových grup . První přesné definice však byly učiněny až ve 30. letech XX.

Obvykle se uvažují tzv. hladké variety , tedy takové, na kterých existuje rozlišená třída hladkých funkcí - v takových varietách lze hovořit o tečných vektorech a tečných prostorech. Abychom mohli měřit délky křivek a úhlů, potřebujeme další strukturu - Riemannovu metriku .

V klasické mechanice , základní různý je fázový prostor . V obecné relativitě se jako model pro časoprostor používá čtyřrozměrná pseudo-Riemannovská varieta .

Definice

$n$ A-dimenzionální topologická varieta bez hranice je Hausdorffův topologický prostor s počitatelným základem , ve kterém má každý bod otevřené sousedství homeomorfní k otevřené podmnožině , to jest -rozměrnému euklidovskému prostoru . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

$n$ -dimenzionální topologická varieta[ objasnit ] je Hausdorffův topologický prostor s počitatelnou bází , ve kterém má každý bod sousedství homeomorfní k otevřené podmnožině uzavřeného poloprostoru v (uvažujeme také otevřená spojení otevřených podmnožin s průsečíkem jejich hranice a hraniční nadroviny) . $\mathbb {R} ^{n}$

Body, které mají otevřené sousedství homeomorfní k otevřené podmnožině , se nazývají internal a množina všech takových bodů je vnitřkem manifoldu (vždy je to neprázdná množina). $\mathbb {R} ^{n}$
Doplněk interiéru se nazývá hranice , jedná se o -dimenzionální varietu bez hranic. $(n-1)$

Vlastnosti definice

Základní podmínka počitatelnosti je ekvivalentní skutečnosti, že varieta se vnoří do euklidovského prostoru konečné dimenze (skutečnost, že takové vložení existuje, potvrzuje Whitneyova věta o vkládání ).
Někdy se místo základní podmínky počitatelnosti používá slabší podmínka pro parakompaktní prostor [1] .
Pojem hrany zde zavedený není v žádném případě ekvivalentní pojmu relativní hranice v obecné topologii.
Požadavek být Hausdorff se může zdát nadbytečný; Příklad prostoru, který je lokálně homeomorfní k euklidovskému, ale ne Hausdorffovu, lze sestrojit slepením dvou kopií skutečné čáry, kromě jednoho bodu.

Hladké rozdělovače

Hladká struktura definovaná níže se běžně vyskytuje téměř ve všech aplikacích a usnadňuje práci s rozdělovačem.

Pro topologickou varietu bez hranic je mapa homeomorfismus z otevřené množiny do otevřené podmnožiny . Soubor map pokrývajících vše se nazývá atlas . $M$ $\varphi$ $U\podmnožina M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M$

Pokud dvě mapy pokrývají jeden bod v , pak jejich složení definuje „slepení“ mapy z otevřené množiny do otevřené množiny . Jsou-li všechna slepená zobrazení ze třídy (tj. časově spojitě diferencovatelné funkce), pak se atlas nazývá atlas (lze také uvažovat nebo , což odpovídá nekonečně diferencovatelným a analytickým slepením). $\varphi$ $\psi$ $M$ $\varphi\circ\psi^{-1}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^k$ $k$ $C^k$ $k=\infty$ $\omega$

Příklad: lze pokrýt kouli - atlasem dvou map na sčítání severního a jižního pólu se stereografickými projekcemi ve vztahu k těmto pólům. $C^\infty$

Dva atlasy definují jednu -smooth strukturu, pokud je jejich spojením -atlas . $C^k$ $C^k$ $C^k$

Pro takové variety lze zavést koncepty tečného vektoru , tečných a kotangentních prostorů a svazků .

Pro danou strukturu -smooth lze najít strukturu -smooth danou novým -atlasem , který definuje stejnou strukturu -smooth. Navíc všechny takto získané manifoldy jsou -diffeomorfní. Proto je hladká struktura často chápána jako -hladká struktura. $C^1$ $C^\infty$ $C^\infty$ $C^1$ $C^\infty$ $C^1$

Ne každá topologická varieta připouští hladkou strukturu. Příklady takových "hrubých" rozdělovačů se již objevují v dimenzi čtyři. Existují také příklady topologických variet, které připouštějí několik různých hladkých struktur. První takový příklad nestandardní hladké struktury, tzv. Milnorova koule , sestrojil Milnor na sedmirozměrné kouli.

Příklady

Nejjednodušším příkladem manifoldu jsou prostory $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
Kružnice je varieta dimenze 1. Obecně lze za jednorozměrnou varietu považovat jakýkoli neprotínající se obrys. Všimněte si, že pro nehladký obrys není odpovídající mapování vložení do mapování hladkých rozdělovačů. $\mathbb {R} ^{n}$
Disk je rozdělovač s hranicí .
Jakýkoli dvourozměrný povrch bez hrany je příkladem dvourozměrné variety ( koule , torus , preclík , …). Podle známé topologické klasifikační věty má každá orientovatelná dvourozměrná varieta tvar koule s několika nalepenými úchyty.
Möbiův pás je příkladem dvourozměrného neorientovatelného potrubí s hranicí. Příkladem neorientovatelné dvourozměrné variety bez hranice je projektivní rovina (varieta čar v ). Všimněte si, že jej nelze vložit do . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$
Všechny výše uvedené příklady rozdělovačů mohou být jedinečně vybaveny hladkou strukturou. Ve vyšších dimenzích jsou však možné různé hladké struktury na stejném topologickém manifoldu.
Netriviálními příklady variet jakékoli dimenze jsou projektivní prostory (různé čáry v ) a Grassmannovy variety (různé -rozměrné podprostory v ). $\RP^n$ $\R^{n+1}$ $\mathrm{Gr}(k,n)$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$

Typy potrubí

Uzavřený rozdělovač je kompaktní připojený rozdělovač bez ohraničení. Příklady: kruh , koule , torus , Kleinova láhev .
Otevřený rozdělovač je nekompaktní připojený rozdělovač bez ohraničení. Příklady: Euklidovský prostor .

Klasifikace rozdělovačů

Každá připojená jednorozměrná varieta bez hranic je homeomorfní ke skutečné přímce nebo kruhu.

Homeomorfní třída uzavřené souvislé plochy je dána její Eulerovou charakteristikou a orientovatelností (pokud je plocha orientovatelná, pak je to koule s úchyty , pokud ne, pak spojený součet několika kopií promítací roviny ).

Klasifikace uzavřených 3 - variet vyplývá z Thurstonovy domněnky , kterou nedávno dokázal Perelman .

Pokud je rozměr větší než tři, pak klasifikace není možná; navíc není možné sestrojit algoritmus, který určuje, zda je rozdělovač jednoduše připojen . Existuje však klasifikace všech jednoduše připojených rozdělovačů ve všech rozměrech ≥ 5.

Lze také klasifikovat hladké rozdělovače.

V dimenzích 1, 2 a 3 je jakýkoli pár homeomorfních variet také difeomorfní.
V dimenzi 4 jsou příklady uzavřených manifoldů, které připouštějí nekonečný počet neekvivalentních hladkých struktur, zatímco otevřené manifoldy, jako je , připouštějí kontinuum různých hladkých struktur. $\R^4$
V dimenzích 5 a výše připouští jakákoli topologická varieta nanejvýš konečný počet neekvivalentních hladkých struktur.

Doplňkové konstrukce

Hladké rozdělovače jsou často vybaveny přídavnými konstrukcemi. Zde je seznam nejčastěji se vyskytujících doplňkových struktur:

Metrický tenzor
Sympletická forma
Složitá struktura

Variace a zobecnění

Viz také

Algebraická odrůda
graf-manifold

Poznámky

↑ S. Lang. Úvod do diferencovatelných variet. — 2. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 s. — ISBN 0-387-95477-5 .

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. moderní geometrie. Metody a aplikace. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 s.

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečnorozměrný prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika