Whitneyho teorém o vnoření

Whitneyho teorém o vnoření je prohlášením o diferenciální topologii , podle které libovolná hladkorozměrná varieta se spočetným základem připouští hladké vložení do prostorového euklidovského prostoru . Založena Hasslerem Whitneyem v roce 1938 . $m$ $2m$

Tento výsledek je optimální, například pokud je mocnina dvou , pak -dimenzionální projektivní prostor nemůže být vložen do -dimenzionálního euklidovského prostoru. $m$ $m$ $(2m-1)$

Schéma důkazu

Pouzdra a se nastavují přímo. $m=1$ $m=2$

Abychom to dokázali , použijeme skutečnost, že generická hladká mapa je imerze s konečným počtem příčných samoprůnikových bodů . $m\geqslant 3$ $f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$

Těchto průsečíků se můžete zbavit několikanásobným použitím Whitneyho triku . Skládá se z následujícího. Vezměme si průsečíky mapování , které mají různá znaménka. Vezměte si body , za které a . Spojme se a vyhlaďme křivku . Spojme se a vyhlaďme křivku . Pak je v . Dále sestrojíme zobrazení s hranicí . V obecné poloze se jedná o investici a (zde jen skutečnost, že ) se používá. Pak je možné izotopovat v malém okolí disku , takže tato dvojice samoprůsečíkových bodů zmizí. Poslednímu tvrzení se dá snadno uvěřit, když uvedeme obrázek pro (ve kterém se vlastnosti disku ukázaly jako splněné náhodou, nikoli podle obecné polohy). Přesný důkaz je uveden v odstavci 22.1 Prasolovovy knihy [1] . ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2m))$ $F$ $x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M$ $f(x_{p})=f(y_{p})=p$ $f(x_{q})=f(y_{q})=q$ ${\displaystyle x_{p))$ ${\displaystyle x_{q))$ $x\subset M$ $y_{p}$ ${\displaystyle y_{q))$ $y\subset M$ $f(x\cup y)$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m))$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(x\cup y)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\částečné D^{2})$ $m\geqslant 3$ $F$ $h(D^{2})$ $m=1$

Zde je náčrt dalšího způsobu, jak se zbavit průsečíků mapy v obecné poloze . Vychází z důležité myšlenky převzetí . (Někdy se tato aplikace této jiné myšlenky mylně nazývá Whitneyho trik.) Vezměte si vlastní průsečík mapování . Vezměte si body , za které . Spojme se a vyhlaďme křivku . Pak je v . Dále sestrojíme zobrazení s hranicí . V obecné poloze se jedná o investici a (zde jen skutečnost, že ) se používá. Nyní můžeme izotopovat v malém okolí disku , takže tento samoprůnik zmizí. Podrobnosti a zobecnění viz kniha Rourkeho a Sandersona [2] a odstavec 8 Skopenkovovy recenze [3] . Tato úvaha se obvykle provádí v kategorii po částech. V hladké kategorii (jako zde) je třeba pro poslední deformaci použít Haefligerovu větu o neuzlovosti koulí (viz [1] ). $f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $p\in \mathbb{R} ^{{2m}}$ $F$ $x,y\v M$ $f(x)=f(y)=p$ $X$ $y$ $l\subset M$ $f(l)$ $\mathbb{R} ^{{2m}}$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(l)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\částečné D^{2})$ $m\geqslant 3$ $F$ $h(D^{2})$

Variace a zobecnění

Nechť existuje hladká- dimenzionální varieta, . $M$ $m$ $m>1$

Pokud není mocnina dvou, pak je tam vložení $m$ $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
$M$ lze načíst do $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
- Navíc může být ponořen do , kde je počet 1s v binární reprezentaci . $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-a}}$ $A$ $m$
  - Poslední výsledek je optimální, pro jakýkoli je možné sestrojit -rozměrnou varietu (můžeme vzít součin
  reálných projektivních prostorů ), kterou nelze ponořit do . $m$ $m$ $\mathbb{R} ^{{2m-a-1}}$

Viz také [4] [5]

Poznámky

↑ V. V. Prasolov , Elements of homology theory Archivní kopie z 3. dubna 2010 na Wayback Machine
↑ CP Rourke, BJ Sanderson, Úvod do po částech-lineární topologie, Springer, 1972.
↑ Skopenkov, A. (1999), Nové výsledky o vkládání mnohostěnů a variet v euklidovských prostorech, ruská matematika. Surveys T. 54 (6): 1149-1196
↑ Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces , in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young a Y. Choi, London Math. soc. Lect. poznámky. T. 347(2): 248-342, ISBN 13 , < http://arxiv.org/abs/math/0604045 > Archivováno 25. července 2020 ve Wayback Machine
↑ Klasifikace příloh (angl.) . Datum přístupu: 18. prosince 2017. Archivováno z originálu 22. prosince 2017. (neurčitý)

Literatura

Orevkov S.Yu. Fyzikální důkaz Whitneyho věty o rovinných křivkách// Sbírka " Mathematical Education ". Třetí série. 1997. Číslo 1. s. 96-102