Rozklad na rukojeti

Klikový rozklad m - rozdělovačů M je filtrace

\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M

kde každý je získán spojením - kliky . Ručkový rozklad pro manifold odpovídá CW rozkladu v topologickém prostoru - klikový rozklad nám umožňuje používat metody pro studium CW komplexů přizpůsobené světu hladkých manifoldů . I- rukojeť je tedy hladkým analogem i -buňky. Rukojeť rozklady manifolds se vynoří z Morse teorie . Modifikace struktur rukojeti úzce souvisí s Cerfovou teorií . $M_{i}$ $M_{{i-1}}$ $i$

Pozadí

Uvažujme standardní CW rozdělení n - koule s jednou nulovou buňkou a jednou n -buňkou . Z hlediska hladkých manifoldů se jedná o degenerované rozdělení koule, protože neexistuje přirozený způsob, jak vidět hladkou strukturu pomocí tohoto rozdělení, zejména hladká struktura v blízkosti 0 -buňky závisí na chování charakteristické mapování v okolí . $S^{n}$ $\chi :D^{n}\to S^{n}$ $S^{{n-1}}$

Problém s CW rozklady je v tom, že spojitelná buněčná mapování nežijí ve světě hladkých mapování mezi manifoldy. Původní myšlenkou pro nápravu této vady je věta o trubkovém okolí . Daný bod p na manifoldu M , jeho uzavřené tubulární okolí je diffeomorphic . Tak získáme rozdělení M do disjunktního spojení a , přilepené podél jejich společné hranice. Hlavní otázkou zde je, zda toto mapování lepením je difeomorfismus. Vezměte hladkou křivku vloženou do , její trubicové okolí je difeomorfní . To nám umožňuje psát jako spojení tří manifoldů přilepených podél částí jejich hranic: $N_p$ ${\displaystyle D^{m))$ $N_p$ $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ $I\times D^{m-1}$ $M$

${\displaystyle D^{m))$
$I\times D^{m-1}$
doplněk otevřeného tubulárního okolí křivky v . $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$

Všimněte si, že všechna slepená zobrazení jsou hladká, zvláště když lepíme s , vztah ekvivalence je tvořen vložením do , což je hladké podle věty o trubkovém okolí . $I\times D^{m-1}$ ${\displaystyle D^{m))$ ${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1))$ $\partial D^{m}$

Rozšíření kliky představil Steven Smale [1] . V původní formulaci proces připojení j -kliky k m - rozdělovači M předpokládá, že vložení je provedeno v . Nechte _ Varianta (jinými slovy, spojení M s j -úchytkou podél f ) odpovídá disjunktnímu spojení a s identifikací s jeho obrazem v , to znamená: $f:S^{j-1}\times D^{mj}$ $\částečné M$ $H^{j}=D^{j}\times D^{mj}$ $M\cup _{f}H^{j}$ $M$ $H^{j}$ $S^{j-1}\times D^{mj}$ $\částečné M$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

kde je uveden vztah ekvivalence jako pro všechny . $\sim$ $(p,x)\sim f(p,x)$ ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{mj}\subset D^{j}\times D^{mj))$

O varietě N se říká, že se získá z M přidáním j -úchytů, jestliže spojení M s konečným počtem j -úchytů je difeomorfní k N . Pak je rozklad manifoldu na úchyty definován jako postupné přidávání k prázdné množině úchytů, takže nakonec dostaneme . Rozdělovač má tedy rozklad kliky s 0 -klikami pouze v případě, že je difeomorfní k disjunktnímu spojení kuliček. Spojené rozdělovací potrubí obsahující rukojeti pouze dvou typů (tj. 0-kliky a j -kliky pro některá pevná j ) se nazývá tělo s rukojetí . $M$ $M$

Terminologie

Vezměme sjednocení M s rukojetí j : $H^{j}$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ nazývaná lepící koule (neboli plantární koule ) [2] .

$F$ někdy nazývané rámování lepicí koule, protože poskytuje trivializaci svého normálního svazku .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{mj-1}\subset D^{j}\times D^{mj}=H^{j))$ je pás rukojeti v . $H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$

Rozdělovač získaný připojením kopií -držadla k disku je (m, k) -tělo s držadly rodu g . $G$ $k$ ${\displaystyle D^{m))$

Reprezentace kobordismů

Rukojeťová reprezentace kobordismu se skládá z kobordismu W kde a filtrace ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1))$

W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W

kde a jsou -rozměrné manifoldy, jsou -rozměrné, difeomorfně a jsou získány z přidáním i - klik. Vzhledem k tomu, že úchopové rozklady pro manifoldy jsou analogické k buněčným rozkladům topologických prostorů, jsou reprezentace úchopu kobordismu pro manifoldy s hranicemi analogické k relativním buněčným rozkladům párů prostorů. $M_{0}$ $M_{1}$ $m$ $W$ $m+1$ $W_{{-1}}$ $M_{0}\times [0,1]$ $W_i$ $W_{i-1}$

Z hlediska Morseovy teorie

Je-li Morseova funkce dána na kompaktní varietě M bez hranic tak, že kritické body funkce vyhovují a $f:M\to \mathbb {R}$ $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M$ $F$ $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k }

pak pro všechna j je difeomorfní , kde je index kritického bodu . Index odpovídá rozměru maximálního podprostoru tečného prostoru , kde Hessian je záporně definitní. $f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$ ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\krát [0,1])\cup H^{I(j)))$ $I(j)$ ${\displaystyle p_{j))$ $I(j)$ $T_{p_{j}}M$

Pokud indexy vyhoví nerovnosti , získáme rozklad variety M na úchyty . Navíc každý rozdělovač má takovou Morseovu funkci, takže mají rozklady klik. Podobně, je-li dán kobordismus c a funkce , která je Morseovou funkcí na vnitřku, je konstantní na hranici a splňuje vlastnost zvýšení indexu, existuje vygenerovaná reprezentace rukojeti kobordismu W . $I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)$ $W$ ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1))$ $f:W\to \mathbb {R}$

If je Morseova funkce , je také Morseova funkce. Odpovídající reprezentace rozkladu rukojeti/kobordismu se nazývá duální rozklad . $F$ $M$ $-f$

Některé hlavní věty a pozorování

Obklad Heegaard uzavřeného orientovatelného 3-rozdělovače je obkladem 3 - rozdělovače do spojení dvou (3,1) -těles s madly podél jejich společné hranice, což se pro plochu nazývá obklad Heegaard. Obklady Heegaard vznikají pro 3 - rozdělovače několika přirozenými způsoby. Pokud je dán rozklad 3-manifoldu na rukojeti, spojení 0 - a 1 - rukojeti je (3,1) -tělo s rukojeťmi a spojení 3 - a 2 - rukojetí také dává (3, 1) -korpus s madly (z pohledu duálního obkladu), tedy obklad Heegaard. Pokud má 3 - rozdělovač triangulaci T , pak existuje vygenerovaná Heegaardova dlaždice, kde první (3,1) -tělo s rukojetí je pravidelným sousedstvím 1 -kostry a druhé (3,1) -tělo s rukojetí je pravidelným sousedstvím dvoujádrového 1 jádra . $T^{1}$
Pokud připojíme dva úchyty v sekvenci , můžeme změnit pořadí připojení, za předpokladu , že tato manifold je difeomorfní k manifoldu pohledu pro příslušná mapování příloh. ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j))$ $j\leqslant i$ ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i))$
Hranice je difeomorfní k , řez podél orámované koule . Toto je hlavní spojení mezi operací , klikami a Morseovými funkcemi. $M\cup _{f}H^{j}$ $\částečné M$ $F$
V důsledku toho je m - manifold M hranicí m+1 -manifoldu W právě tehdy, když M lze získat z chirurgického zákroku na sadě orámovaných spojů v . Například je známo, že jakákoli 3 -manifolda je hranicí 4 - manifoldu (podobně, orientované spinor 3 -manifoldy jsou hranicí orientovaných a spinor 4 - variet, v tomto pořadí) podle práce René Thoma o kobordismu . Jakýkoli 3-rozdělovač tedy může být získán operací na zmanipulovaných spojích na 3 -kouli. V orientovaném případě je obvyklé redukovat tyto orámované vazby na orámované vložení disjunktního spojení kružnic. ${\displaystyle S^{m))$ ${\displaystyle S^{m))$
Věta h - cobordismus je dokázána zjednodušením klikových rozkladů hladkých variet.

Viz také

Pen Casson
Teorie [spolu]bordismů
CW komplex
tělo s rukojetí
Kirby Calculus
Rozklad manifoldu

Poznámky

↑ Smale, 1962 , str. 387–399.
↑ Scorpan, 2016 , str. 46.

Literatura

Smale S. O struktuře rozdělovačů // Amer. J Math. - 1962. - T. 84 .
- Článek je přetištěn v knize: S. Smale. O struktuře variet // Topologická knihovna. Část 1: Kobordismy a jejich aplikace / Odpovědný redaktor: Louis H. Kauffman; Redakce: SP Novikov, IA Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. - V. 39. - (SÉRIE O UZLECH A VŠEM). - ISBN 978-981-270-559-4 .
Scorpan A. Úžasný svět čtyřrozměrných variet. — M. : MTsNMO, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7 .

Hlavní literatura

Kosinksi A. Diferenciální rozdělovače. - Academic Press, 1992. - V. 138. - (Čistá a aplikovaná matematika).
Robert Gompf, Andras Stipsic. 4-Rozvody a Kirbyho počet. - Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. - V. 20. - ( Graduate Studies in Mathematics ). - ISBN 0-8218-0994-6 .