Teorie surfování

Na pomezí teorie singularity a diferenciální topologie studuje Cerfova teorie rodiny hladkých funkcí reálné hodnoty.

f\colon M\to \mathbb {R}

na hladké varietě , jejich typické singularity a topologie podprostorů, které tyto singularity definují jako podprostory prostoru funkcí. Teorie je pojmenována po Jaune Cerf , který začal teorii rozvíjet koncem 60. let. $M$

Příklad

Marston Morse dokázal, že když je kompaktní, tak každá hladká funkce $M$

f\colon M\to \mathbb {R}

lze aproximovat pomocí Morseovy funkce . Pro mnohé účely lze tedy libovolné funkce nahradit funkcemi Morse. $M$

V dalším kroku by se někdo mohl zeptat: "Pokud máte 1parametrovou rodinu funkcí, která začíná a končí Morseovými funkcemi, můžeme si být jisti, že celá rodina sestává z Morseových funkcí?" Obecně je odpověď ne . Vezměme si například rodinu

f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx

jako 1parametrová rodina funkcí na . V tuto chvíli $M=\mathbb {R}$

t = -1

funkce nemá žádné kritické body a v tuto chvíli

t = 1

funkce je Morseova funkce se dvěma kritickými body

x=\pm 1

Cerf ukázal, že 1-parametrovou rodinu funkcí mezi dvěma Morseovými funkcemi lze aproximovat rodinou Morseových funkcí vůbec, ale v konečném počtu bodů v čase. Degenerace se projevuje výskytem/mizením kritických bodů, jako ve výše uvedeném příkladu.

Svazek nekonečně-dimenzionálního prostoru

Vraťme se k obecnému případu, kdy se jedná o kompaktní rozdělovač. Označme prostor Morseových funkcí $M$ $\operatorname {Morse} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R} \,

a označuje prostor hladkých funkcí $\operatorname {Func} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R}

Morse to dokázal

\operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)

je otevřená a hustá v topologii . $C^\infty$

Existuje intuitivní analogie. Uvažujme Morseovu funkci jako otevřené vlákno maximálního rozměru ve svazku (netvrdíme, že takový svazek existuje, ale předpokládáme, že ano). Všimněte si, že v prostorech vláken je otevřené vlákno s kodimenzí 0 otevřené a husté. Pro zjednodušení zápisu obracíme konvence o indexování svazků v prostoru vláken a neindexujeme otevřenou vrstvu podle jejího rozměru, ale podle jejího kodimenze. To je pohodlnější, protože je nekonečně-dimenzionální, pokud to není konečná množina. Podle předpokladu je otevřená vrstva s kodimenzí 0 prostoru , tedy . Ve stratifikovaném prostoru je často odpojen. Základní charakteristikou vrstvy s kodimenzí 1 je, že libovolnou cestu v , která začíná a končí v , lze aproximovat cestou, která se protíná kolmo v konečném počtu bodů a neprotíná se v žádném . $\operatorname {Func} (M)$ $\operatorname {Func} (M)$ $M$ $\operatorname {Func} (M)$ $\operatorname {Morse} (M)$ $\operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)$ $X$ $X^{0}$ $X^{1}$ $X$ $X^{0}$ $X^{1}$ $X^{i}$ $i>1$

Pak je Cerfova teorie teorií, která studuje vrstvy s kladnou kodimenzí, tedy pro . Když $\operatorname {Func} (M)$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{i))$ $i>0$

f_{t}(x)=x^{3}-tx

pouze pro funkci není funkce Morse a $t=0$

{\displaystyle f_{0}(x)=x^{3))

má kubický degenerovaný kritický bod odpovídající objevení/zmizení singularity.

Jediný parametr (čas), tvrzení věty

Morseova věta říká, že pokud je Morseova funkce, pak blízko kritického bodu je konjugována s funkcí tvaru $f\colon M\to \mathbb {R}$ $p$ $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2} x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

kde . ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\))$

Cerfův teorém pro 1-parametrovou rodinu zakládá základní vlastnost vlákna o korozměru jedna.

Totiž, pokud je 1-parametrová rodina hladkých funkcí na c a jsou to Morseovy funkce, pak existuje hladká 1parametrová rodina , taková, že se stejnoměrně blíží intopologii funkcí . Navíc jsou Morseovy funkce vůbec kromě konečného počtu bodů. V bodech, kde funkce není funkcí Morse, má funkce pouze jeden degenerovaný kritický bod a poblíž tohoto bodu je rodina konjugována s rodinou. $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ $M$ $t\in [0,1]$ ${\displaystyle f_{0},f_{1))$ $F_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1))$ $F$ $F$ $C^k$ $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$ $F_t$ $p$ $F_t$

g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1 }+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

kde . Pokud , bude to 1parametrová rodina funkcí, ve které jsou vytvořeny dva kritické body (jako ) zvýšení , a proto to bude 1parametrová rodina, ve které dva kritické body zmizí. $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$ $\epsilon _{1}=-1$ $t$ $\epsilon _{1}=1$

Origins

Po částech lineární - Schoenflies problém provyřešil JW Alexander v roce 1924. Jeho důkaz upravili pro hladký případ Morse a Bayad [1] . Podstatnou vlastnost použil Cerf k prokázání, že jakýkoli difeomorfismus zachovávající orientaci je izotopem identity [2] , což je považováno za 1parametrové rozšíření Schoenfliesovy věty pro. Důsledekv té době byl široce používán v diferenciální topologii. Podstatnou vlastnost později použil Cerf k prokázání pseudoizotopického teorému [3] pro vícerozměrné jednoduše spojené variety. Důkazem je 1parametrové rozšíření Smaleova důkazu h-cobordismu teorému (Morse, stejně jako Milnor [4] a Cerf-Gramain-Maurin [5] přepsali Smaleův důkaz z hlediska funkčního konceptu, na základě návrhu Tom). $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$ $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $\Gamma _{4}=0$

Cerfův důkaz je založen na práci Toma a Mathera [6] . Užitečným moderním přehledem díla Toma a Mathera je kniha Glubitského a Guilmana [7] .

Aplikace

Kromě výše uvedených aplikací použil Robion Kirby Cerfovu teorii jako klíčový krok při ospravedlnění Kirbyho kalkulu .

Generalizace

Doplňkový svazek podprostoru nekonečné kodimenze prostoru hladkých zobrazení nakonec vyvinul Sergeraer [8] . ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathbb {R} \))$

V 70. letech 20. století problém klasifikace pseudoizotopií variet, které nejsou jednoduše propojeny, vyřešili Hatcher a Wagoner [9] , kteří objevili algebraické destrukce $K_{i}$ na ( ) a ( ), a Kiyoshi Igusa, který objevil destrukce podobného charakteru na ( ) [10] . $\pi _{1}M$ $i=2$ $\pi _{2}M$ $i=1$ $\pi _{1}M$ $i=3$

Poznámky

↑ Morse, Baiada, 1953 , str. 142–165.
↑ Cerf, 1968 .
↑ Cerf, 1970 , str. 5–173.
↑ Milnor, 1965 .
↑ Cerf, Gramain, 1968 .
↑ Mather, 1969 .
↑ Golubitsky, Guillemin, 1973 .
↑ Sergeraert, 1972 , s. 599–660.
↑ Hatcher, Wagoner, 1973 .
↑ Igusa, 1988 , str. vi+355.

Literatura

Marston Morse , Emilio Baiada Homotopie a homologie související s problémem Schoenflies // Annals of Mathematics . - 1953. - T. 58 . — S. 142–165 . - doi : 10.2307/1969825 .
Mather J. Klasifikace stabilních zárodků pomocí R-algeber // Publ. Matematika. IHES. — 1969.
Golubitsky M., Guillemin V. Stabilní zobrazení a jejich singularity. - Springer-Verlag, 1973. - V. 14. - (Absolventské texty z matematiky).
Jean Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimensions trois ( ). - Berlín-New York: Springer-Verlag, 1968. - V. 53. - (Poznámky z matematiky). $\Gamma _{4}=0$
Jean Cerf. La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie // Publikace Mathématiques de l'IHÉS . - 1970. - T. 39 . — S. 5–173 .
Milnor J. Přednášky o větě h-cobordismu, poznámky L.Siebenmanna a J.Sondowa. — Princetonská matematika. Poznámky, 1965.
Jean Cerf, Andre Gramain. Le theoreme du h-cobordisme (Smale) . — Ecole Normale Superieure, 1968.
Sergeraert F. Un theoreme de fonctions implicites sur sures espaces de Fréchet et quelques aplikace // Ann. sci. Ecole Standard. Sup .. - 1972. - V. 5 , no. 4 .
Allen Hatcher, John Wagoner. Pseudoizotopy kompaktních manifoldů // Asterisque. - Paříž: Société Mathematique de France, 1973. - Sv. 6 .
Igusa K. Věta o stabilitě pro hladké pseudoizotopie. K-Teorie 2. - 1988. - Vydání. 1-2 .