Exotická koule

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. března 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Exotická koule je hladká varieta M , která je homeomorfní , ale ne difeomorfní ke standardní n -kouli .

Historie

První příklady exotických koulí postavil John Milnor v dimenzi 7; dokázal, že existuje nejméně 7 zřetelných hladkých struktur. Nyní je známo, že na orientovaném je 28 různých hladkých struktur (15 bez zohlednění orientace). $S^{7}$ $S^{7}$

Tyto příklady, takzvané Milnorovy koule , byly nalezeny mezi vesmírnými svazky nad . Takové svazky jsou klasifikovány dvěma celými čísly a prvkem . Některé z těchto svazků jsou homeomorfní ke standardní kouli, ale nejsou k ní difeomorfní. $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $A$ $b$ $\mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))$ ${\displaystyle M_{a,b))$

Protože oni jsou jednoduše propojeni, podle zobecněného Poincareho dohadu , kontrolní homeomorphism a je redukován na homologii počítání ; tato podmínka klade určité podmínky na a . ${\displaystyle M_{a,b))$ ${\displaystyle M_{a,b))$ $S^{7}$ ${\displaystyle M_{a,b))$ $A$ $b$

V důkazu non-diffeomorphism, Milnor argumentuje rozporem . Všiml si, že manifold je hranicí 8-dimenzionálního manifoldu - prostoru svazku disku nad . Dále, pokud je difeomorfní ke standardní kouli, pak může být slepena kuličkou, čímž se získá uzavřený hladký 8-rozdělovač. Výpočet signatury výsledné manifoldy z hlediska jejích Pontryaginových čísel vede k rozporu. ${\displaystyle M_{a,b))$ ${\displaystyle W_{a,b))$ ${\displaystyle D^{4))$ ${\displaystyle S^{4))$ ${\displaystyle M_{a,b))$ ${\displaystyle W_{a,b))$

Klasifikace

Součet dvou exotických n -rozměrných koulí je také exotickou koulí. Operace spojeného součtu mění různé hladké struktury na orientované n - rozměrné kouli na monoid , nazývaný exotické koule monoid .

n ≠ 4

Neboť je známo, že monoid exotických koulí je abelovská skupina , nazývaná skupina exotických koulí . $n\neq 4$

Tato skupina je triviální pro . To znamená, že v těchto dimenzích existence homeomorfismu na standardní kouli implikuje existenci difeomorfismu na . Pro , je izomorfní k cyklické skupině řádu 28. To znamená, že existuje 7-rozměrná exotická koule taková, že jakákoliv 7-rozměrná exotická koule je difeomorfní k spojenému součtu několika kopií ; navíc připojený součet 28 kopií je difeomorfní ke standardní kouli . $n=1,2,3,5,6$ $S^{n}$ $S^{n}$ $n=7$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $S^{7}$

Skupina exotických koulí je izomorfní ke skupině Θ n orientovaných h -kobordistických tříd homotopické n -sféry. Tato skupina je konečná a abelovská.

Skupina má cyklickou podskupinu $\Opalování$

bP_{n+1}

odpovídající -sférám, které spojují paralelizovatelné manifoldy . $n$

Pokud je n sudé , pak je skupina triviální, $bP_{n+1}$
Pokud , pak má skupina pořadí 1 nebo 2 $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $bP_{n+1}$
- Má řád 1, když n = 1, 5, 13, 29 nebo 61.
- Má pořadí 2 v , pokud ve stejnou dobu $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $n\neq 2^{k}-3$
Pokud , to je , pak když se pořadí rovná $n\equiv 3{\pmod {4}}$ $n+1=4m$ $m\geq 2$
- $|bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B$ ,

kde je čitatel zlomku , jsou Bernoulliho čísla . (Někdy se vzorec mírně liší kvůli různým definicím Bernoulliho čísel.)

B

|4B_{2m}/m|

B_{{2m}}

Faktorové grupy jsou popsány pomocí stabilních homotopických grup koulí modulo obrazu J-homomorfismu ). Přesněji řečeno, existuje injektivní homomorfismus $\Theta _{n}/bP_{n+1}$

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J

kde je n-tá stabilní homotopická skupina koulí a je obrazem J - homomorfismu. Tento homomorfismus je buď izomorfismus, nebo má obraz indexu 2. K tomu druhému dochází tehdy a pouze tehdy, když existuje n - rozměrná paralelizovatelná varieta s Kervaireovým invariantem 1. ${\displaystyle \pi _{n}^{S))$ $J$

Otázka existence takového manifoldu se nazývá Kerverův problém. Od roku 2012 to nebylo vyřešeno pouze pro případ . Rozdělovače s Kervaireovým invariantem 1 byly konstruovány v rozměrech 2, 6, 14, 30 a 62. $n=126$

Rozměr č	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16	17	osmnáct	19	dvacet
Objednávka Θn	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	28	2	osm	6	992	jeden	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Objednávka bP n +1	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	28	jeden	2	jeden	992	jeden	jeden	jeden	8128	jeden	2	jeden	261632	jeden
Pořadí Θ n / bP n +1	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	2	2×2	6	jeden	jeden	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Pořadí π n S / J	jeden	2	jeden	jeden	jeden	2	jeden	2	2×2	6	jeden	jeden	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Index	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Další hodnoty v této tabulce lze vypočítat z informací výše spolu s tabulkou skupin stabilních homotopických sfér.

V lichých rozměrech mají koule a jen ony jedinou hladkou strukturu. Wang & Xu (2017 ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61))$

n = 4

V dimenzi , prakticky nic není známo o monoidu hladkých koulí, kromě toho, že je konečný nebo spočetně nekonečný a abelovský. Není známo, zda na 4-kouli existují exotické hladké struktury. Tvrzení, že neexistují, je známé jako „hladká Poincarého domněnka“. $n=4$

Takzvaný Gluckův twist spočívá ve vyříznutí trubkového okolí 2-koule S 2 v S 4 a jeho vložení zpět pomocí difeomorfismu jeho hranice . Výsledek je vždy homeomorfní vůči S 4 , ale ve většině případů není známo, zda je difeomorfní vůči S 4 . $S^{2}\times S^{1}$

Twisted Spheres

Nechť je dán difeomorfismus, který zachovává orientaci. Slepením dvou kopií koule podél mapování mezi hranicemi získáme tzv. kouli přeplněnou difeomorfismem . Zkroucená koule je homeomorfní ke standardní kouli, ale obecně řečeno k ní není difeomorfní. $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ $F$ $F$

Jinými slovy, varieta se nazývá zkroucená koule, pokud připouští Morseovu funkci s přesně dvěma kritickými body.

Pro n ≠ 4 je jakákoli exotická koule difeomorfní k nějaké zkroucené kouli.
Pro n = 4 je jakákoli zkroucená koule difeomorfní vůči standardní.

Viz také

Odkazy

Akbulut, Selman (2009), Cappell-Shaneson homotopické koule jsou standardní , arXiv : 0907.0136
Brieskorn, Egbert V. (1966), "Příklady singulárních normálních komplexních prostorů, které jsou topologickými varietami", Proceedings of the National Academy of Sciences 55 (6): 1395–1397, doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR 1398 , PMC 224331 , PMID 16578636
Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Matematika. 2 (1): 1–14, doi : 10.1007/BF01403388 , MR 0206972
Browder, William (1969), "Kervaireský invariant orámovaných variet a jeho zobecnění", Annals of Mathematics 90 (1): 157–186, doi : 10.2307/1970686 , JSTOR 1970686 , MR 0251
Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), „Člověk a stroj přemýšlí o hladké 4-rozměrné Poincarého domněnce“, Quantum Topology 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5
Gluck, Herman (1962), "Vložení dvou koulí do čtyř koulí", Transactions of the American Mathematical Society 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR 1993581 , MR 0701
Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten , Lecture Notes in Mathematics 57 , Berlin-New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/ BFb0074302 related to sphere sphereMR2155 , komplexních variet .
Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963). "Skupiny homotopických sfér: I" (PDF). Annals of Mathematics ( Princeton University Press ) 77 (3): 504–537. doi : 10.2307/1970128 . JSTOR 1970128 . MR 0148075 . – Tento článek popisuje strukturu skupiny hladkých struktur na n -kouli pro n >4. Bohužel dříve avizovaný článek "Groups of Homotopy Spheres: II" nebyl nikdy publikován, ale Levinovy přednáškové materiály obsahují to, co zřejmě obsahovat mohly.
Levine, JP (1985), "Lectures on groups of homotopy spheres", Algebraic and geometric topology , Lecture Notes in Mathematics 1126 , Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi : 10.1007/BFb0074439 , MR 8757031
Milnor, John W. (1956), "On manifolds homeomorphic to the 7-sphere", Annals of Mathematics 64 (2): 399–405, doi : 10.2307/1969983 , JSTOR 1969983 , MR 0082103
- J. Milnor. Na varietách homeomorfních k sedmirozměrné kouli // Matematika . - 1957. - č. 3 . - S. 35-42 .
Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétes différentiables et structure différentiables des sphères" , Bulletin de la Société Mathématique de France 87 : 439–444, MR 0117744
Milnor, John W. (1959b), "Differentiable structure on spheres", American Journal of Mathematics 81 (4): 962–972, doi : 10.2307/2372998 , JSTOR 2372998 , MR 0110107
Milnor, John (2000), „Klasifikace ( n − 1)-spojených 2 n -rozměrných variet a objev exotických koulí“, v Cappell, Sylvain; Ranick, Andrew; Rosenberg, Jonathan, Surveys on Surgery Theory: Volume 1 , Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, pp. 25–30, ISBN 9780691049380, MR 1747528
Milnor, John Willard (2009), "Před padesáti lety: topologie manifoldů v 50. a 60. letech", v Mrowka, Tomasz S.; Ozsvath., Peter S., Nízkorozměrná topologie. Poznámky z přednášek z 15. letní postgraduální školy Park City Mathematics Institute (PCMI) konané v Park City, UT, léto 2006. (PDF), IAS/Park City Math. Ser. 15 , Providence, R.I.: Amer. Matematika. Soc., str. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491
Milnor, John W. (2011), „Diferenciální topologie o čtyřicet šest let později“ (PDF), Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809
Rudyak, Yu.B. (2001), "Milnor sphere" (nedostupný odkaz) , v Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Wang, Guozhen & Xu, Zhouli (2017), Triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres , Annals of Mathematics vol. 186 (2): 501–580 , DOI 10.4007/ annals.2017.3186.2

Externí odkazy

Exotic Orbs on Manifold Atlas (downlink k 06-05-2016 [2373 dní])
Exotické říše. Zdrojové materiály související s exotickými říšemi.
Animace a vlastně exotické 7-koule - video z přednášky Nilese Johnsona z Druhé Abelovy konference .
Gluck_construction