Pontryaginovo číslo

Pontryaginovo číslo je charakteristické číslo definované pro skutečné uzavřené manifoldy a nabývající racionálních hodnot.

Definice

Nechť M je 4 n - rozměrná hladká uzavřená varieta a je dělením čísla , tj. množiny přirozených čísel takových, že . ${\displaystyle \omega =\{k_{1},k_{2},\tečky ,k_{m))\))$ $n$ $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n$

racionální číslo

P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])

se nazývá Pontrjaginovo číslo variety M s ohledem na oddíl , zde jsou označeny Pontrjaginovy třídy . $\omega$ $p_{i}$

Ačkoli Pontryagin čísla jsou formálně definovaná pro hladké variety, Novikov teorém , oni jsou topologické invarianty .

Pontrjaginova věta. Pontryaginova čísla dvou bordantních (v orientovaném smyslu) variet jsou stejná. Dále
- Pokud se všechna Pontryaginova a Stiefel-Whitneyova čísla dvou orientovaných uzavřených variet shodují, pak jsou tyto variety bordantní (v orientovaném smyslu).
Signatura manifoldu je vyjádřena pomocí Pontryaginových čísel, to znamená signatury kvadratického průsečíku definovaného na , . $H^{n/2}(M)$ $n=dimM$
Spinor index ( -genus) uzavřené spinorové manifoldy , tj. index Diracova operátoru na , je vyjádřen pomocí Pontryaginových čísel . ${\klobouk {A}}$ $M$ $M$