Aritmetická skupina

Aritmetická grupa je grupa získaná jako celočíselné body algebraické grupy , například Aritmetické grupy přirozeně vznikají při studiu aritmetických vlastností kvadratických forem a jiných klasických oblastí teorie čísel . Jsou také zdrojem velmi zajímavých příkladů Riemannových variet a jsou proto předmětem zájmu diferenciální geometrie a topologie . Nakonec jsou tato dvě pole spojena do teorie automorfních forem , která je základem moderní teorie čísel. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).$

Historie

Jedním ze zdrojů matematické teorie aritmetických grup je algebraická teorie čísel. Klasickou redukční teorii kvadratických a hermitovských forem Charlese Hermita , Hermanna Minkowského a dalších lze považovat za výpočet základních oblastí působení určitých aritmetických grup na odpovídající symetrické prostory [1] [2] . Tato oblast byla spojena s geometrií Minkowského čísel a raným vývojem ve studiu aritmetických invariantů číselných polí, jako je diskriminant . Na aritmetické skupiny lze pohlížet jako na silné zobecnění skupin jednotek číselných polí na nekomutativní podmínky.

Stejné skupiny se také objevují v analytické teorii čísel při studiu klasických modulárních forem a při vývoji jejich zobecnění. Oba regiony byly samozřejmě propojeny, jak je vidět na příkladu Laglandova výpočtu objemu některých fundamentálních regionů pomocí analytických metod [3] . Vyvrcholením této klasické teorie byla práce Siegela, který v mnoha případech ukázal, že objem fundamentálního oboru je konečný.

Přípravné práce byly nezbytné pro rozvoj moderní teorie a tuto práci v oblasti algebraických grup provedli Armand Borel , André Weyl , Jacques Tits a další [4] [5] . Krátce nato Borel a Harish-Chandra prokázali konečnost covolume v plné obecnosti [6] . Mezitím byl pozorován pokrok v obecné teorii svazů v Lieových grupách, což zajistila práce Atle Selberga , Grigory Margulis a Davida Kazhdana , M. S. Raghunatana a dalších. Současná pozice po tomto období byla zaznamenána v pojednání Raghunathan, publikovaném v roce 1972 [7] .

V sedmdesátých letech způsobil Margulis revoluci v oboru tím, že dokázal, že ve „většině“ případů aritmetické konstrukce platí pro všechny svazy v dané Lieově grupě [8] . Některé omezené výsledky v tomto směru již dříve získal Selberg, ale Margulisovy metody (použití ergodických teoretických prostředků k působení na homogenní prostory) byly v tomto kontextu zcela nové a měly extrémně velký dopad na následující výzkumníky, účinně aktualizovaly starou disciplínu. číselné geometrie, což si Margulis dovolil dokázat Oppenheimovu domněnku . Přesnější výsledky ( Theorems Ratner ) později získala Marina Ratner .

V opačném směru klasická teorie modulárních forem rozkvetla v moderní teorii automorfních forem. Hnací silou tohoto rozkvětu byl z velké části program navržený Robertem Langlandsem . Jedním z hlavních zde používaných nástrojů je trasovací vzorec zavedený Selbergem [9] a vyvinutý pro obecnější podmínky Jamesem Arthurem [10] .

Nakonec se aritmetické skupiny často používají ke konstrukci zajímavých příkladů lokálně symetrických Riemannových variet. Zvláště aktivní výzkum byl proveden v oblasti aritmetických hyperbolických 3-variet , o kterých Thurston napsal [11] : "...často mají zvláštní krásu."

Definice a konstrukce

Aritmetické skupiny

Jestliže je algebraická podgrupa grupy pro některé , pak můžeme definovat aritmetickou podgrupu grupy jako grupu celočíselných bodů . V obecném případě není zřejmé, jak přesně definovat koncept "celočíselných bodů" -skupin a výše definovaná podskupina se může změnit, pokud vezmeme jiné vložení $\mathrm {G}$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )$ $n$ $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ $\Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).$

Nejlepší definicí konceptu je pak vzít jako definici aritmetické podgrupy skupiny jakoukoli skupinu , která je souměřitelná (to znamená, že obě a jsou konečnými množinami) se skupinou definovanou výše (s přihlédnutím k jakémukoli začlenění do ). Podle této definice je algebraická grupa spojena se sadou „samostatných“ podskupin, které jsou si navzájem souměřitelné. $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ $\lambda$ $\Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )$ $\Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )$ $\Gamma$ $\mathrm {GL} _{n}$ $\mathrm {G}$

Použití číselných polí

Přirozené zobecnění výše uvedené konstrukce je následující: nechť je číselné pole s kruhem celých čísel a je algebraická skupina nad . Pokud dostaneme vložení definované přes , pak lze podskupinu právem nazvat aritmetickou skupinou. $F$ $Ó$ $\mathrm {G}$ $F$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n))$ $F$ $\rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)$

Na druhé straně takto získaná třída skupin není větší než třída aritmetických skupin definovaná výše. Navíc, pokud vezmeme v úvahu algebraickou grupu přes , získanou omezením skalárů od do , a -vložení generované pomocí (kde ), pak se výše zkonstruovaná skupina shoduje s . $\mathrm {G} '$ $\mathbb {Q}$ $F$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ ${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn))$ $\rho$ $d=[F:\mathbb {Q} ]$ $(\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))$

Příklady

Klasickým příkladem aritmetické skupiny jsou buď blízce příbuzné skupiny , a . Skupina for nebo se někdy nazývá modulární skupina , protože souvisí s modulární křivkou . Podobnými příklady jsou modulární skupiny Siegel . $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $n=2$ $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $\mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$

Dalšími známými a prostudovanými příklady jsou Bianchiho grupy , kde je celé číslo bez čtverce a je kruh celých čísel v poli , a Hilbert-Blumetralovy modulární grupy . $\mathrm {SL} _{2}(O_{-m})$ $m>0$ ${\displaystyle O_{-m))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $\mathrm {SL} _{2}(O_{m})$

Jiné klasické příklady jsou dány celočíselnými prvky v ortogonální skupině kvadratických forem definovaných přes číselné pole, například . Příbuznou konstrukcí je výběr skupin jednotek řádů v kvaternionových algebrách přes číselná pole (například řád Hurwitzových čtveřic ). Podobné konstrukce lze provést s nečleněnými skupinami hermitských forem a známým příkladem je modulární Picardova skupina . $\mathrm {SO} (n,1)(\mathbb {Z} )$

Aritmetické svazy v polojednoduchých Lieových grupách

Když je Lieova grupa, lze definovat aritmetickou mříž v takto: pro jakoukoli algebraickou grupu definovanou přes , takže existuje morfismus s kompaktním jádrem, obraz aritmetické podskupiny v je aritmetická mřížka v . Proto například, jestliže a jsou podskupinami , pak je aritmetický svaz v (avšak existuje mnohem více svazů odpovídajících jiným vložením). Například je aritmetická mřížka v . $G$ $G$ $\mathrm {G}$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm {G} (\mathbb {R} )\to G$ $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ $G$ $G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )$ $G$ $\mathrm {GL} _{n}$ $G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $G$ $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$

Borel-Harish-Chandra věta

Mříž v Lieově grupě je obvykle definována jako diskrétní podgrupa s konečným covolume. Terminologie prezentovaná výše je spojena s tímto, protože teorém kvůli Borelovi a Harish-Chandrovi říká, že aritmetická podgrupa v polojednoduché Lieově grupě má konečný covolume (diskrétnost je zřejmá).

Přesněji řečeno, teorém říká, že aritmetická mřížka je kokompaktní právě tehdy, když „forma“ skupiny použité k její definici (tj. -grupa ) je anizotropní. Například aritmetická mřížka asociovaná s kvadratickou formou v proměnných přes je v asociované ortogonální grupě kokompaktní tehdy a jen tehdy, když kvadratická forma v žádném bodě na . $G$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm {G}$ $n$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}$

Margulisova aritmetická věta

Geniální výsledek získaný Margulisem je částečným opakem Borel-Harish-Chandrovy věty: pro určité skupiny je jakákoli mříž aritmetická. Tento výsledek platí pro všechny ireducibilní svazy v polojednoduchých Lieových grupách reálné hodnosti větší než dva [12] [13] . Například všechny svazy v jsou aritmetické, jestliže . Hlavním novým prvkem, který Margulis použil k prokázání teorému, byla superrigidita mříží ve vysoce postavených skupinách, což dokázal, aby získal svůj výsledek. $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$ $n\geqslant 3$

Neredukovatelnost hraje roli pouze v případě , že má faktor se skutečnou hodností jedna (jinak věta platí vždy) a není jednoduchá. To znamená, že pro jakýkoli rozklad je mřížka nesouměřitelná se součinem mřížek v každém faktoru . Například mřížka v je neredukovatelná, zatímco není. $G$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2))$ $G_{i}$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$

Margulisův aritmetický (a superrigidní) teorém platí pro některé Lieovy grupy úrovně 1, jmenovitě, a pro výjimečnou grupu [14] [15] . Je známo, že věta neplatí pro všechny grupy pro a pro s . Nearitmetické svazy ve skupinách nejsou známy, pokud . $\mathrm {Sp} (n,1)$ $n\geqslant 1$ $F_{4}^{-20}$ $\mathrm {SO} (n,1)$ $n\geqslant 2$ $\mathrm {SU} (n,1)$ $n=1,2,3$ $\mathrm {SU} (n,1)$ $n\geqslant 4$

Aritmetické fuchsovské a kleinovské grupy

Aritmetická Fuchsova grupa je zkonstruována z následujících dat: čistě reálné číselné pole , kvaternionová algebra přes a řád v . Požadujeme, aby pro jedno vložení byla algebra izomorfní s maticovou algebrou a všechny ostatní musí být izomorfní s Hamiltonovými čtveřicemi . Pak je grupou jednotek svazek v , který je ve všech případech izomorfní a kokompaktní, kromě případů, kdy se jedná o maticovou algebru nad . Tímto způsobem jsou získány všechny aritmetické svazy (až do souměřitelnosti). $F$ $A$ $F$ $\mathcal O$ $A$ $\sigma :F\to \mathbb {R}$ $A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R}$ $M_{2}(\mathbb {R} )$ ${\mathcal {O}}^{1}$ $(A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ $A$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$

Aritmetické Kleinovy grupy jsou konstruovány podobně, až na to, že musí mít přesně jedno komplexní místo a pro všechna skutečná místa to musí být hamiltonovské čtveřice. Vyčerpají všechny aritmetické třídy souměřitelnosti $F$ $A$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).$

Klasifikace

Pro jakoukoli jednoduchou semiprostou Lieovu grupu je teoreticky možné klasifikovat (až do souměřitelnosti) všechny aritmetické svazy v , podobně jako v případech popsaných výše. To se redukuje na klasifikaci algebraických grup, jejichž reálné body jsou izomorfní až na kompaktní faktor ke grupě [13] . $G$ $G$ $G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ $G$

Problém shodné podskupiny

Kongruentní podgrupa je (zhruba řečeno) podgrupa aritmetické grupy definovaná výběrem všech matic splňujících některé rovnice modulo an integer, například volbou skupiny 2 x 2 celočíselných matic s diagonálou (resp. diagonální) záznamy shodné s 1 (respektive 0) v modulo kladné celé číslo. Jsou to vždy podgrupy konečného indexu a problém kongruentní podgrupy se ptá, zhruba řečeno, zda jsou všechny podgrupy získány tímto způsobem. Dohad (obvykle přisuzovaný Serreovi ) říká, že to platí pro (neredukovatelné) mřížky ve skupinách s vysokou pozicí, ale ne pro skupiny na pozici jedna. Dohad zůstává v takové obecnosti otevřený, ale existuje mnoho výsledků, které prokazují platnost domněnky pro konkrétní svazy (pro pozitivní a negativní případy).

$S$ -aritmetické skupiny

Místo výběru celočíselných bodů v definici aritmetické mřížky lze vzít body, které jsou celými čísly pouze mimo konečnou množinu prvočísel. To vede ke konceptu -aritmetické mřížky (kde znamená množinu převrácených čísel prvočísel). Typickým příkladem je . Jsou to přirozené mříže v některých topologických skupinách, například je mříž v $S$ $S$ $\mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)$ $\mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p}).$

Definice

Formální definice -aritmetické grupy pro konečnou množinu prvočísel je stejná jako u aritmetických grup s nahrazeným , kde je součin prvočísel v . $S$ $S$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $\mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)$ $N$ $S$

Svazy v Lieových skupinách nad místními poli

Borel-Harish-Chandra teorém zobecňuje na -aritmetické grupy následovně: jestliže je -aritmetická grupa grupy v -algebraické grupě , pak je to svazek v lokálně kompaktní grupě $S$ $\Gamma$ $S$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm {G}$ $\Gamma$

G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})

Některé aplikace

Explicitní expandéry

Aritmetické grupy s vlastností (T) Kazhdan nebo slabší vlastností ( ) Lubotského a Zimmera lze použít ke konstrukci expandérů (Margulis) nebo dokonce Ramanujanových grafů (Lyubotsky - Phillips - Sarnak [16] [17] ). Podle pravděpodobnostních argumentů je známo, že takových grafů existuje velké množství, ale explicitní povaha takových konstrukcí je činí zajímavými. $\tau$

Extrémní povrchy a grafy

Je známo, že kongruence krytí aritmetických ploch vede k plochám s velkým poloměrem vstřikování [18] . Podobně, Ramanujanovy grafy sestrojené Lubotským, Phillipsem a Sarnakem mají velký obvod . Je známo, že vlastnost Ramanujan implikuje, že místní obvody grafu jsou téměř vždy velké [19] .

Izospektrální manifoldy

Aritmetické skupiny mohou být použity ke konstrukci izospektrálních variet . Poprvé tuto stavbu realizovala Marie-France Wiener [20] a brzy poté se objevily různé varianty její konstrukce. Problém izospektrality je ve skutečnosti velmi vhodný pro studium aritmetických variet za omezených podmínek [21] .

Falešné projektivní roviny

Falešná projektivní rovina [22] komplexní plocha , která má stejná Betti čísla jako projektivní rovina , ale není k ní biholomorfní . První příklad takového letadla našel Mumford. Podle Klinglerovy práce (nezávisle ověřené Youngem) jsou všechny kvocientové prostory 2-koule nad aritmetickými mřížemi v . Možné mřížky byly klasifikovány Prasadem a Youngem a dokončeny Cartwrightem a Steegerem, kteří zkontrolovali, že skutečně odpovídají falešným projektivním rovinám. $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )$ $\mathrm {PU} (2,1)$

Poznámky

↑ Borel, 1969 .
↑ Siegel, 1989 .
↑ Langlands, 1966 , s. 143–148.
↑ Borel, sýkorky, 1965 , str. 55–150.
↑ Weil, 1982 , s. iii+126.
↑ Borel, Harish-Chandra, 1962 , str. 485–535.
↑ Raghunathan, 1972 .
↑ Margulis, 1974 .
↑ Selberg, 1956 , str. 47–87.
↑ Arthur, 2005 , str. 1–263.
↑ Thurston, 1982 , s. 357–381.
↑ Margulis, 2007 .
↑ 12 Witte -Morris, 2015 .
↑ Gromov, Schoen, 1992 , str. 165–246.
↑ Corlette, 1992 , str. 165–182.
↑ Lubotzky, 1994 .
↑ Sarnak, 1990 .
↑ Katz, Schaps, Višne, 2007 , str. 399–422.
↑ Abért, Glasner, Virág, 2014 , str. 465.
↑ Vigneras, 1980 , str. 21–32.
↑ Prasad, Rapinchuk, 2009 , str. 113–184.
↑ Remy, 2007–2008 .

Literatura

Raghunathan MS Jednotlivé podgrupy Lieových grup . — Springer-Verlag, 1972.
Armand Borel. Úvod aux groupes arithmétiques . — Hermann, 1969.
Carl Ludwig Siegel. Přednášky o geometrii čísel . — Springer-Verlag, 1989.
Langlands RP algebraické grupy a nespojité podgrupy. — Providence, R.I.: Amer. Matematika. Soc., 1966, s. 143–148 .
Armand Borel Groupes reductifs // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Matematika.. - 1965. - T. 27 . — S. 55–150 . - doi : 10.1007/bf02684375 .
Andre Weil . Adèles a algebraické grupy. - Birkhäuser, 1982. - P. iii + 126.
Armand Borel, Harish Chandra. Aritmetické podgrupy algebraických grup // Annals of Mathematics. - 1962. - T. 75 , čís. 3 . — S. 485–535 . - doi : 10.2307/1970210 . — .
Grigori Margulis . Diskrétní grupy pohybů variet nepozitivní křivosti // Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, BC, 1974), Vol. 2. — Kanada. Matematika. Kongres, 1975. (Ruština)
- Margulis G. Diskrétní grupy pohybů variet nekladné křivosti // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. - Vancouver, Kanada, 1974. - T. II. - S. 21-34.
Atle Selberg. Harmonická analýza a nespojité grupy ve slabě symetrických Riemannových prostorech s aplikacemi na Dirichletovy řady // J. Indian Math. soc. (NS). - 1956. - T. 20 . — s. 47–87 .
James Arthur. Úvod do stopového vzorce // Harmonická analýza, stopový vzorec a odrůdy Shimura. — Amer. Matematika. Soc, 2005, s. 1–263.
William Thurston. Trojrozměrné variety, kleinovské grupy a hyperbolická geometrie // Bull. amer. Matematika. soc. (NS). - 1982. - T. 6 , no. 3 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15003-0 .
Margulis G. Diskrétní podgrupy polojednoduchých Lieových grup. - Moskevské centrum pro průběžné matematické vzdělávání (MTsNMO), 2007. - (Učebnice. Matematika. Vyšší škola). - ISBN 978-5-94057-174-2 .
Dave Witte-Morris. 16 // Úvod do aritmetických grup . — 2015.
Michail Gromov, Richard Schoen. Harmonické mapy do singulárních prostorů a p-adická superrigidita pro mříže ve skupinách první úrovně // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Matematika.. - 1992. - T. 76 . - doi : 10.1007/bf02699433 .
Kevin Corlette. Archimedova superrigidita a hyperbolická geometrie // Ann. matematiky.. - 1992. - T. 135 . - doi : 10.2307/2946567 . — .
Dave Witte-Morris. 18 // Úvod do aritmetických grup . — 2015.
Alexandr Lubotzky. Diskrétní grupy, rozšiřující grafy a invariantní míry. — Birkhauser, 1994.
Petr Šarňák. Některé aplikace modulárních forem. — Cambridge University Press, 1990.
Michail G. Katz, Mary Schaps, Uzi Vishne. Logaritmický růst systoly aritmetických Riemannových ploch podél kongruenčních podgrup // Journal of Differential Geometry. - 2007. - T. 76 , č. 3 . — arXiv : math.DG/0505007 .
Miklós Abért, Yair Glasner, Bálint Virag. Kestenův teorém pro invariantní náhodné podgrupy // Duke Math. J .. - 2014. - T. 163 , č. 3 . - doi : 10.1215/00127094-2410064 . - arXiv : 1201,3399 .
Marie-France Vignerasová. Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques (francouzsky) // Ann. matematiky.. - 1980. - Sv. 112 . - doi : 10.2307/1971319 . — .
Gopal Prasad, Andrei S. Rapinchuk. Slabě souměřitelné aritmetické grupy a izospektrální lokálně symetrické prostory // Publ. Matematika. Inst. Hautes Études Sci.. - 2009. - T. 109 . - doi : 10.1007/s10240-009-0019-6 .
Bertrand Remy. COVOLUME DES GROUPES S-ARITHMÉTIQUES ET FAUX PLANS PROJECTIFS [d'après Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung]. — seminář Bourbaki, 2007–2008.