Poloměr injektivity

Poloměr injektivity je velikost maximálního proraženého okolí bodu v úplné Riemannově varietě , na kterém je vzdálenost k tomuto bodu hladká funkce.

Poloměr injektivity celé Riemannovy variety je definován jako nejmenší infimum poloměrů injektivity ve všech jejích bodech.

Poloměr injektivity v bodě Riemannovy manifoldy se obvykle označuje nebo . Poloměr injektivity celé variety se označuje jako . $p$ $M$ $i_{p}$ $i_{p}(M)$ $i(M)$

Přesná definice

Poloměr injektivity v bodě Riemannovy variety je největší poloměr koule v prostoru tečny, omezení na které z exponenciálního zobrazení v je diffeomorfismus . $p$ $\exp _{p}$ $p$

Vlastnosti

Poloměr injektivity je horní semikontinuální a kladný.

Poloměr injektivity v bodě se rovná vzdálenosti od bodu k sadě jeho řezu .

Pro úplné Riemannovy variety platí, že pokud je poloměr injektivity v bodě konečné číslo , pak existuje geodetická smyčka délky , která začíná a končí v , nebo existuje bod konjugovaný k a ve vzdálenosti od . $p$ $R$ $2\cdot R$ $p$ $q$ $p$ $R$ $p$

Pro uzavřené Riemannovy manifoldy je poloměr injektivity roven polovině minimální délky uzavřené geodetiky, tj. minimální vzdálenosti mezi sdruženými body na geodetice.

Literatura

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Úvod do Riemannovy geometrie. - Petrohrad. : Nauka, 1994. - 318 s.