Sada oddílů

Sekce množiny bodu v Riemannově varietě je podmnožinou bodů , přes které žádná z nejkratších cest . $p$ $M$ $\operatorname {C} _{p}\subset M$ $p$

Sada oddílů se také nazývá catlocus , z angličtiny. řezané místo .

Příklady

Sada bodových řezů standardní koule se skládá z bodu opačného k . $p$ $p$
Množina dělení bodu na povrchu nekonečného kruhového válce je přímka rovnoběžná s osou válce, procházející po povrchu válce ze strany protilehlé zvolenému bodu.

Sada oddílů je uzavřená sada .
Sada oddílů má nulový objem.
Podmnožina je difeomorfní k míči. $M\zpětné lomítko \operatorname {C} _{p}$
Pokud existují dvě různé nejkratší křivky mezi body a , pak a . $p$ $q$ ${\displaystyle p\in \operatorname {C} _{q))$ $q\in \operatorname {C} _{p}$
Pokud jsou obě nejkratší čáry mezi body a zároveň jedinečné, pak jsou konjugovány na pokračování . ${\displaystyle p\in \operatorname {C} _{q))$ $\gamma$ $p$ $q$ $\gamma$
Jestliže je analytická Riemannova varieta, pak množina oddílů připouští lokálně konečnou triangulaci na otevřené analytické simplicity. $M$ $\operatorname {C} _{p}$
- Bez analytičnosti může být množina dokonce untriangulovaná . $M$ $\operatorname {C} _{p}$
Vzdálenost od bodu k jeho sadě řezů je rovna poloměru injektivity tohoto bodu.

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Úvod do Riemannovy geometrie. - Petrohrad. : Nauka, 1994. - 318 s.