Modulární křivka

Modulární křivka je Riemannův povrch nebo odpovídající algebraická křivka , zkonstruovaná jako faktor komplexní horní poloviny roviny H z kongruentní podgrupy modulární grupy celých matic 2×2 SL(2, Z ). Termín modulární křivka lze také použít k označení zhutněných modulárních křivek , což jsou zhutnění získaná přidáním konečného počtu bodů (nazývaných vrcholy křivky ) k faktoru (působením na rozšířenou komplexní horní polorovinu ). Modulární body křivky $Y(\mathrm {\Gamma } )$ $\mathrm {\Gamma }$ $X(\mathrm {\Gamma } )$ $\mathbf {\Gamma }$ parametrizujte třídy izomorfismu eliptických křivek spolu s nějakou další strukturou závisející na skupině . Tato interpretace nám umožňuje podat čistě algebraickou definici modulárních křivek bez odkazu na komplexní čísla a navíc dokazuje, že modulární křivky jsou definičním polem buď nad polem Q racionálních čísel , nebo nad kruhovým polem . Poslední skutečnost a její zobecnění mají v teorii čísel zásadní význam. $\mathrm {\Gamma }$

Analytická definice

Modulární grupa SL(2, Z ) působí na horní polovinu roviny pomocí lineárně zlomkových transformací . Analytická definice modulární křivky zahrnuje volbu kongruentní podgrupy grupy SL(2, Z ), tedy podgrupy obsahující hlavní podgrupu N kongruencí pro kladné celé číslo N , kde $\mathrm {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma } (N)$

\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv \pm 1\mod N,b,c\ equiv 0\mod N\right\}.

Minimum takového N se nazývá hladina . Složitá struktura může být superponována na faktor , aby se vytvořil nekompaktní Riemannův povrch, obvykle označovaný jako . $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ $Y(\mathbf {\Gamma } )$

Zhutněné modulární křivky

Celkové zhutnění se získá přidáním konečného počtu bodů, nazývaných vrcholy křivky . Přesněji řečeno, je to provedeno konvencí, která platí pro rozšířenou komplexní polorovinu . Topologii zavádíme výběrem základny: $Y(\mathrm {\Gamma } )$ $\mathrm {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{*}=\mathbf {H} \cup \mathbf {Q} \cup \{\infty \))$ $\mathbf {H} ^{*}$

jakákoli otevřená podmnožina H ,
pro všechna r > 0, množina ${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im))(\tau )>r\))$
pro všechna hlavní čísla a , c a všechna r > 0, obrázek pod akcí ${\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im))(\tau )>r\))$

{\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}

kde m , n jsou celá čísla taková, že a + cm = 1.

Toto se změní na topologický prostor, který je podmnožinou Riemannovy sféry . Skupina působí na podmnožinu a rozděluje ji na konečný počet oběžných drah , nazývaných skupinové vrcholy . Pokud působí tranzitivně , prostor se stává Alexandrovovým zhutněním . Znovu, jeden může uložit komplexní strukturu na faktor , přeměnit jej na Riemann povrch, označovaný , a nyní je kompaktní . Tento prostor je zhutněním křivky [1] . $\mathbf {H} ^{*}$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ $\mathrm {\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \cup \{\infty \))$ $\mathbf {\Gamma }$ $\mathrm {\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \cup \{\infty \))$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H}$ $\mathrm {\Gamma } {\smallsetminus }\mathbf {H} ^{*}$ $X(\mathrm {\Gamma } )$ $Y(\mathrm {\Gamma } )$

Příklady

Nejobecnější příklady křivek jsou a jsou spojeny s podskupinami a . $X(N),X_{0}(N)$ $X_{1}(N)$ $\mathrm {\Gamma } (N),\mathrm {\Gamma } _{0}(N)$ $\mathrm {\Gamma } _{1}(N)$

Modulární křivka X (5) má rod 0 - jedná se o Riemannovu kouli s 12 vrcholy umístěnými ve vrcholech pravidelného dvacetistěnu . Krytí se provádí působením dvacetistěnné skupiny na Riemannovu kouli. Tato grupa je jednoduchá grupa řádu 60 izomorfní k A 5 a PSL(2, 5). $X(5)\rightarrow X(1)$

Modulární křivka X (7) je Klein quartic rodu 3 s 24 hrbolky. Lze jej interpretovat jako povrch s 24 špičatými sedmiúhelníky ve středu každé plochy. Tuto teselaci lze zobrazit pomocí dětských kreseb a Belyiho teorému - vrcholy jsou body ležící na (červené tečky), zatímco vrcholy a středy hran (černé a bílé tečky) jsou body ležící nad 0 a 1. Galois krytiny je jednoduchá skupina řádu 168 izometrická k PSL(2, 7) . $\infty$ $X(7)\rightarrow X(1)$

Existuje explicitní klasický model pro , klasická modulární křivka . Někdy se nazývá modulární křivka . Definici lze přeformulovat následovně: jde o podskupinu modulární skupiny, která je jádrem redukce modulo N . Pak je největší podskupina horních trojúhelníkových matic modulo N : $X_{0}(N)$ $\mathrm {\Gamma } (N)$ $\mathrm {\Gamma } _{0}(N)$

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},

a je přechodná skupina definovaná jako: $\mathbf {\Gamma } _{1}(N)$

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\ \mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.

Tyto křivky mají přímou interpretaci jako modulový prostor pro eliptické křivky s úrovňovou strukturou az tohoto důvodu hrají důležitou roli v aritmetické geometrii . Úroveň N modulární křivky X ( N ) je modulový prostor pro eliptické křivky s N - torzní bází . Pro Xo ( N ) a Xi ( N ) je strukturou úrovně cyklická podskupina řádu N a bod řádu N , v tomto pořadí. Tyto křivky byly podrobně studovány a zejména je známo, že Xo ( N ) lze definovat přes Q.

Rovnice definující modulární křivky jsou dobře známými příklady modulárních rovnic . "Nejlepší modely" se mohou podstatně lišit od modelů převzatých přímo z teorie eliptických funkcí . Heckeho operátory mohou být studovány geometricky jako korespondence spojených dvojic modulárních křivek.

Poznámka : faktory H , které jsou kompaktní, se pro fuchsovské grupy ukazují být odlišné od faktorů pro podgrupy modulární grupy. Jejich třída, postavená z algeber čtveřice , je zajímavá v teorii čísel. $\mathbf {\Gamma }$

Rod

Kryt je Galoisův kryt s Galoisovou grupou SL(2, N )/{1, −1}, která se rovná PSL(2, N ), pokud N je prvočíslo. Pomocí Riemann-Hurwitzova vzorce a Gauss-Bonnetovy věty lze vypočítat rod X ( N ). Pro snadnou úroveň , $X(N)\rightarrow X(1)$ $p\geqslant 5$

-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,

kde je Eulerova charakteristika , je řád grupy PSL(2, p ) a je rohová vada sférického (2,3, p ) trojúhelníku. To vede ke vzorci $\chi =2-2g$ $|G|=(p+1)p(p-1)/2$ $D=\pi -\pi /2-\pi /3-\pi /p$

g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).

Potom X (5) má rod 0, X (7) má rod 3 a X (11) má rod 26. Pro p = 2 nebo 3 je třeba vzít v úvahu také větvení, tedy existenci prvků řádu p v , a skutečnost, která má řád 6 spíše než 3. Existuje složitější vzorec pro rod modulární křivky X ( N ) jakékoli úrovně N , která používá N dělitelů . $\mathrm {PSL} (2,\mathbf {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,2)$

Rod nula

Pole modulárních funkcí je pole funkcí modulární křivky (nebo někdy některé další prostory moduli , které se ukáží jako neredukovatelné variace ). Rod nula znamená, že takové pole funkcí má jako generátor jedinečnou transcendentální funkci . Například j-funkce generuje pole funkcí X (1) = PSL(2, Z )\ H . Tradiční název pro takový generátor, který je až po Möbiovu transformaci jedinečný a lze jej náležitě normalizovat, je Hauptmodul (vypůjčeno z němčiny, doslovný překlad je hlavní modul ).

Prostory X 1 ( n ) mají pro n = 1, …, 10 a n = 12 rod nula . Protože tyto křivky jsou definovány nad Q , vyplývá z toho, že na každé takové křivce je nekonečně mnoho racionálních bodů, a proto existuje nekonečně mnoho mnoho eliptických křivek definovaných přes Q s n -rotací pro tyto hodnoty n . Opakem, že pouze tyto hodnoty n jsou možné , je Mazurova torzní věta .

Kontakt se skupinou Monster

Modulární křivky rodu 0, které jsou poměrně vzácné, se ukázaly být obzvláště důležité, protože souvisí s domněnkou monstrózního nesmyslu . Prvních sedm koeficientů q -rozšíření jejich hlavního modulu bylo vypočteno již v 19. století, ale jaký to byl šok, když se stejně velká celá čísla ukázala jako rozměry reprezentací největší jednoduché skupiny Monster.

Další souvislost spočívá v tom, že modulární křivka odpovídající normalizátoru podskupiny skupiny SL(2, R ) má rod nula právě tehdy, když p je rovno 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 nebo 71, což jsou přesně hlavní dělitelé řádu monster . Výsledek je relativně zásluhou Jeana-Pierra Serreho , Andrewa Ogga a Johna G. Thompsona (1970) a pozorování týkající se monstra je zásluhou Ogga, který slíbil láhev whisky Jacka Daniela každému, kdo byl první vysvětlit tuto skutečnost, a to byl výchozí bod teorie „monstrózního nesmyslu“ [2] . ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } _{0}(p)^{+))$ $\mathbf {\Gamma } _{0}(p)$ ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } _{0}(p)^{+))$

Spojení jdou velmi hluboko, a jak ukázal Richard Borcherds , jsou zde zahrnuty zobecněné Kac-Moodyho algebry . Práce v této oblasti zdůrazňuje důležitost meromorfních modulárních funkcí , které mohou obsahovat póly a vrcholy, na rozdíl od modulárních forem , které jsou všude holomorfní, včetně vrcholů, hlavního předmětu studia ve 20. století.

Viz také

Manin-Drinfeldova věta
Věta o modularitě
Shimur manifold , zobecnění modulárních křivek do vyšších dimenzí

Literatura

Jean-Pierre Serre. Cours d'aritmétique. — 2. - Presses Universitaires de France, 1977. - svazek 2. - (Le Mathématicien).
Goro Šimura. Úvod do aritmetické teorie automorfních funkcí. - Princeton University Press , 1994. - Vol. 11. - (Publikace Japonské matematické společnosti). - ISBN 978-0-691-08092-5 .
Panchishkin AA, Parshin AN Modulární křivka // Encyklopedie matematiky . — ISBN 1-4020-0609-8 .
Andrew P. Ogg. Automorphismes de courbes modulaires // Seminář Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres (1974–1975) . - 1974. - T. 16.