Belyho teorém

Belyiho věta je základním tvrzením v algebraické geometrii : jakákoli nesingulární algebraická křivka definovaná algebraickými koeficienty představuje kompaktní Riemannovu plochu , která je rozvětveným krytem Riemannovy koule rozvětvující se pouze ve třech bodech. Instaloval Gennady Bely v roce 1979 ; výsledek byl neočekávaný a v souvislosti s ním vytvořil Grothendieck nový směr v algebraické geometrii - teorii dětských kreseb , která popisuje nesingulární algebraické křivky nad algebraickými čísly pomocí kombinatoriky. $C$

Z věty vyplývá, že uvažovanou Riemannovu plochu lze chápat jako , kde je horní polorovina , a je podgrupou s konečným indexem v modulární grupě zhutněné přidáním cusps . Protože modulární skupina má nekongruentní podgrupy , nevyplývá z toho, že jakákoli taková křivka je modulární křivkou . $H/\Gamma$ $H$ $\Gamma$

Belyiho funkce je holomorfní zobrazení od kompaktní Riemannovy plochy ke komplexní projektivní přímce , větvené pouze přes tři body, které lze po Möbiově transformaci považovat za body . Belyho funkce lze popsat kombinatoricky pomocí dětských kreseb . Současně se Belyiho funkce a dětské kresby nacházejí v dílech Felixe Kleina z roku 1879 [1] , kde jsou použity ke studiu 11násobného pokrytí komplexní projektivní linie monodromickou skupinou PSL(2 ,11) [2] . $S$ $P^{1}\mathbb {C}$ ${\displaystyle \{0,1,\infty \))$

Belyiho teorém je existenční teorém pro Belyiho funkce a aktivně se používá ve výzkumu inverzního Galoisova problému .

Literatura

Jean-Pierre Serre . Přednášky o Mordell-Weilově větě / Z francouzštiny přeložil Martin Brown z poznámek Michela Waldschmidta. - Třetí. — Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. - (Aspekty matematiky). - ISBN 3-528-28968-6 . - doi : 10.1007/978-3-663-10632-6 .
Felix Klein. Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. - 1879. - T. 15 , čís. 3-4 . — S. 533–555 . - doi : 10.1007/BF02086276 .
Belyi GV Na Galoisových rozšířeních maximálního kruhového pole // Izvestiya AN SSSR , matematická řada. - 1979. - T. 43 , no. 2 . — S. 267–276 .
Bely GV Nový důkaz věty o třech bodech // Matematická sbírka . - 2002. - T. 193 , č. 3 . - S. 21-24 .
Lieven le Bruyn. Kleinovy dessins d'enfant a buckyball . — 2008.

Ernesto Girondo, Gabino González-Diez. Úvod do kompaktních Riemannových ploch a dessins d'enfants. - Cambridge: Cambridge University Press , 2012. - V. 79. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-74022-7 .
Wushi zlatý prsten. Sjednocující témata navržená Belyiho větou // Teorie čísel, analýza a geometrie. In Memory of Serge Lang / Dorian Goldfeld, Jay Jorgenson, Peter Jones, Dinakar Ramakrishnan, Kenneth A. Ribet, John Tate. - Springer, 2012. - S. 181-214. - ISBN 978-1-4614-1259-5 .