Automorfní funkce

Automorfní funkce je funkce , která je analytická v nějaké oblasti a splňuje vztah v této oblasti , kde je prvek nějaké spočetné podgrupy grupy lineárně zlomkových transformací komplexní roviny. $F$ $G\subset \mathbb {C}$ $f(g(z))=f(z)$ $G$

Historie

Třídu automorfních funkcí, která zobecňuje třídu eliptických funkcí , představil a studoval francouzský matematik Henri Poincaré v 80. letech 19. století.

V průběhu 19. století se prakticky všichni významní matematici v Evropě podíleli na vývoji teorie eliptických funkcí, která se ukázala být extrémně užitečná při řešení diferenciálních rovnic . Tyto funkce však zcela neospravedlňovaly naděje do nich vkládané a mnozí matematici začali přemýšlet o tom, zda by bylo možné rozšířit třídu eliptických funkcí tak, aby nové funkce byly použitelné i pro ty rovnice, kde jsou eliptické funkce k ničemu.

Poincaré poprvé našel tuto myšlenku v článku Lazara Fuchse , nejvýznamnějšího specialisty v těch letech na lineární diferenciální rovnice ( 1880 ). V průběhu několika let Poincaré Fuchsovu myšlenku rozvinul daleko a vytvořil teorii nové třídy funkcí, kterou s obvyklou lhostejností k otázkám priorit pro Poincarého navrhl nazvat fuchsovské funkce ( francouzsky les fonctions fuchsiennes ). měl všechny důvody dát této třídě vlastní jméno. Případ skončil tím, že Felix Klein navrhl název „automorfní funkce“, který byl ve vědě zafixován [1] . Poincaré odvodil expanzi těchto funkcí do řad a dokázal větu o sčítání. Tyto objevy „mohou být právem považovány za vrchol celého vývoje teorie analytických funkcí komplexní proměnné v 19. století“ [2] .

Při rozvíjení teorie automorfních funkcí objevil Poincaré jejich spojení s Lobachevského geometrií , což mu umožnilo prezentovat mnoho otázek teorie těchto funkcí v geometrickém jazyce. Publikoval vizuální model Lobačevského geometrie , s nímž ilustroval materiál o teorii funkcí.

Po práci Poincarého se eliptické funkce změnily z prioritního směru vědy na omezený speciální případ silnější obecné teorie. Ve 20. století byly Poincareho výsledky rozšířeny na případ funkcí více proměnných (viz např. modulární funkce ). Byly učiněny pokusy dále zobecnit třídu automorfních funkcí ( automorfní formy ).

Aplikace

Automorfní funkce jsou široce používány v mnoha oblastech exaktních věd [3] . Zejména:

Umožňují řešit jakoukoli lineární diferenciální rovnici s algebraickými koeficienty.
Je prokázána možnost uniformizace algebraických křivek , tedy jejich reprezentace pomocí automorfních funkcí. Toto je 22. Hilbertův problém , který vyřešil Poincaré v roce 1907 .
Metody této teorie jsou efektivně aplikovány v algebraické geometrii , teorii algebraických grup, teorii variet a dokonce i v teorii čísel .

Literatura

Golubev VV Jednohodnotové analytické funkce. Automorfní funkce . Moskva: Fizmatlit, 1961.
Klein F. Přednášky o vývoji matematiky v 19. století . Svazek I, kapitola 8. M.-L.: GONTI, 1937. 432 s.
Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ed.). Matematika 19. století, ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1978-1987. - T. 2.
Poincare A. Vybraná díla, ve třech svazcích. Svazek 3. M .: Nauka, 1971-1974.
Ford L. P., Automorfní funkce, přel. z angličtiny, M.-L., 1936;
Shimura G. Úvod do aritmetické teorie automorfních funkcí. M.: Mir, 1973.
Golubev VV Přednášky z analytické teorie diferenciálních rovnic. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 s.

Odkazy

Silvestrov VV Automorfní funkce - zobecnění periodických funkcí // Soros Educational Journal. - 2000. - č. 3 . - S. 124-127 .

Poznámky

↑ Poincare A. Vybraná díla ve třech svazcích, Dekret. op. - T. 3. - S. 690-695.
↑ Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ed.). Matematika 19. století. Dekret. op. - T. 2. - S. 247.
↑ Silvestrov V. V. Automorfní funkce - zobecnění periodických funkcí // Soros Educational Journal. - 2000. - č. 3 . - S. 124-127 .