Globální pole

Globální pole je pole jednoho ze dvou typů:

pole algebraických čísel , tedy konečné rozšíření oboru racionálních čísel , $\mathbb {Q}$

nebo

globální pole funkcí , tj. pole funkcí na algebraické křivce nad konečným polem , nebo ekvivalentně, konečné rozšíření - pole racionálních funkcí jedné proměnné nad konečným polem prvků . $\mathbb {F} _{q}(T)$ $\mathbb {F} _{q}$ $q$

Axiomatickou charakterizaci takových polí prostřednictvím teorie exponentů podali Emil Artin a George Voples v roce 1940. [jeden]

Definice

Globální pole je jedno z následujících polí:

Obor algebraických čísel

Pole algebraických čísel je konečným rozšířením (a tedy algebraickým rozšířením ) pole racionálních čísel . Je tedy pole, které obsahuje , a má konečný rozměr jako vektorový prostor nad . $F$ $\mathbb {Q}$ $F$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Pole funkcí na algebraické křivce nad konečným tělesem

Pole funkcí na odrůdě je množina všech racionálních funkcí na této odrůdě. Na algebraické křivce (tj. na jednorozměrné varietě ) nad konečným polem říkáme, že racionální funkce na otevřené afinní podmnožině je definována jako poměr dvou polynomů v afinním souřadnicovém kruhu , a uvažujeme, že jakýkoli dvě takové funkce jsou ekvivalentní, pokud se ve svém průsečíku shodují s otevřenými afinními množinami. To technicky definuje racionální funkce jako relační pole afinních souřadnicových kruhů jakýchkoli afinních podmnožin, protože celá množina všech takových podmnožin je hustá. $PROTI$ $U$ $U$ $PROTI$

Analogie mezi dvěma třídami polí

Mezi těmito dvěma typy oborů existuje řada formálních podobností. Bez ohledu na typ pole jsou všechna jeho dokončení lokálně kompaktními poli (viz místní pole ). Každé pole jakéhokoli typu lze realizovat jako relační pole Dedekindova kruhu , ve kterém má každý nenulový ideál konečný index. V každém případě existuje "produktový vzorec" pro nenulové prvky : $X$

\prod \limits _{v}|x|_{v}=1.\

Analogie mezi dvěma druhy polí byla silnou hnací silou v algebraické teorii čísel . Myšlenka analogie mezi algebraickými číselnými poli a Riemannovou plochou sahá až k Dedekindovi a Weberovi v devatenáctém století. Přísnější analogie, vyjádřená myšlenkou globálního pole, ve kterém aspekt Riemannovy plochy jako algebraická křivka mapovaná na křivky definované přes konečné pole, byla vytvořena ve 30. letech 20. století, což vedlo k Riemannově hypotéze pro křivky přes konečných polí , doložený Weilem v roce 1940. Tato terminologie může souviset s Weilem, který částečně sepsal svou Základní teorii čísel (1967), aby vytvořil analogii.

Obecně je jednodušší pracovat v případě funkčního pole a pak se pokusit vyvinout podobnou techniku na straně numerického pole. Dramatickým příkladem je vývoj Arakelovovy teorie a její použití Faltingsem v jeho důkazu Mordellovy domněnky . Analogie také ovlivnila vývoj Iwasawovy teorie a její hlavní hypotézy . V důkazu základního lemmatu Langlandsův program také použil metody, které redukovaly číselné pole na případ funkčního pole.

Věty

Minkowského-Hasseova věta

Minkowski-Hasseho teorém je základním výsledkem v teorii čísel , který říká, že dvě kvadratické formy nad globálním polem jsou ekvivalentní právě tehdy, když jsou ekvivalentní nad lokálními poli, tedy ekvivalentní v jakémkoli dokončení pole.

Artinův zákon reciprocity

Artinův zákon reciprocity implikuje popis abelianizace absolutní Galoisovy grupy globálního pole , která je založena na Hasseově principu . Z hlediska kohomologie to lze popsat takto: $K$

Dovolit být Galois rozšíření místního pole s Galois skupinou . Potom místní zákon reciprocity popisuje kanonický izomorfismus $L_{v}/K_{v}$ $G$

\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v))(L_{v}^{\times })\to G^{\mathrm {ab}},

kterému se říká místní Artin symbol . [2] [3]

Nechť je Galoisovo rozšíření globálního pole a je třída skupina idelů . Mapování pro různé lze sestavit do jediného globálního symbolu prostřednictvím produktu lokálních komponent třídy idel. Jedním z tvrzení Artinova zákona „reciprocity“ je, že to vede ke kanonickému izomorfismu [4] [5] $L/K$ $C_{L}$ $L$ ${\displaystyle \theta _{v))$ $K_{v}$

Poznámky

↑ Artin & Whaples, 1945 a Artin & Whaples, 1946
↑ Serre (1967) s. 140
↑ Serre (1979) s. 197
↑ Neukirch (1999) s.391
↑ Jurgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, str. 408. Přesnější verze zákona o reciprocitě ve skutečnosti sleduje důsledky.

Odkazy

Artin, Emil & Whaples, George (1945), Axiomatická charakterizace polí pomocí vzorce produktu pro ocenění , Bull. amer. Matematika. soc. T. 51: 469–492 , DOI 10.1090/S0002-9904-1945-08383-9
Artin, Emil & Whaples, George (1946), Poznámka k axiomatické charakterizaci polí , Bull. amer. Matematika. soc. T. 52: 245–247 , DOI 10.1090/S0002-9904-1946-08549-3
JWS Cassels , "Globální pole", v JWS Cassels a A. Frohlich (eds.), Algebraická teorie čísel , Academic Press , 1973. Kap.II, str. 45-84.
JWS Cassels, "Local fields", Cambridge University Press , 1986, ISBN 0-521-31525-5 . S.56.
Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander & Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , sv. 323 (druhé vyd.), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-37888-4