Povaha reprezentace skupiny

Charakter grupové reprezentace je funkce na grupě, která vrací stopu (součet diagonálních prvků) matice odpovídající danému prvku v reprezentaci [1] [2] .

Obvykle se označuje písmenem [3] .

Teorie znaků se zabývá studiem reprezentací prostřednictvím jejich charakterů .

Definice

Jestliže je konečná dimenzionální reprezentace grupy , pak povahou této reprezentace je funkce od do množiny komplexních čísel, daná stopou lineární transformace odpovídající prvku . Obecně řečeno, stopa není homomorfismus a množina stop netvoří grupu.

Vlastnosti

• Znaky ekvivalentních zobrazení se shodují [2] .
• Izomorfní reprezentace mají stejné znaky [4] .
• Znaky ireducibilních neizomorfních reprezentací konečné grupy tvoří ortonormální systém funkcí [2] [5] .
• Skalární čtverec charakteru neredukovatelné reprezentace je roven jedné [2] .
• Charakter redukovatelné reprezentace je roven součtu znaků všech neredukovatelných reprezentací, které se v ní vyskytují [2] [4] .
• Dvě reprezentace se stejnými znaky jsou ekvivalentní [2] [6] .
• Pokud je zobrazení redukovatelné, pak je skalární čtverec jeho charakteru větší než jedna [7] .
• Vzájemně konjugované prvky mají skupiny a znaky stejné [7] .
• Množina znaků všech ireducibilních reprezentací je kompletní v lineárním prostoru funkcí definovaných na třídách konjugovaných prvků [7] .
• Pro libovolný prvek skupiny [8] .
• Aby byla reprezentace neredukovatelná, je nutné a postačující, aby skalární čtverec jejího charakteru byl roven [9] .

Poznámky

1. ↑ Van der Waerden, 2004 , str. 62.
2. ↑ 1 2 3 4 5 6 Lyubarsky, 1958 , str. 56.
3. ↑ Golovina, 1975 , str. 366.
4. ↑ 1 2 Golovina, 1975 , str. 367.
5. ↑ Golovina, 1975 , str. 369.
6. ↑ Van der Waerden, 2004 , str. 64.
7. ↑ 1 2 3 Lyubarsky, 1958 , str. 57.
8. ↑ Golovina, 1975 , str. 368.
9. ↑ Golovina, 1975 , str. 372.

Literatura

• Lyubarsky G. Ya. Teorie grup a její aplikace ve fyzice. — M .: Nauka, 1958. — 354 s.
• Van der Waerden BL Metoda teorie grup v kvantové mechanice. — M. : Editorial URSS, 2004. — 200 s.
• Golovina L. I. Lineární algebra a některé její aplikace. — M .: Nauka, 1975. — 407 s.