Skupina Weil

Weylova grupa je grupa vytvořená odrazy v nadrovinách ortogonálních ke kořenům kořenového systému Lieovy grupy , Lieovy algebry nebo jiných algebraických objektů.

Pojmenován po Hermannu Weylovi .

Související definice

Nadroviny ortogonální ke kořenům kořenového systému rozřezávají euklidovský prostor na konečný počet otevřených oblastí nazývaných Weylovy komory .
Za předpokladu Lieovy grupy , která splňuje určité podmínky (například pro připojenou kompaktní grupu) a libovolného torusu (ne nutně maximálního), lze definovat Weylovu grupu jako faktor normalizačního toru pomocí jejího centralizéru , $G$ $T<G$ $N(T)$ $Z(T)$ $W(T,G)=N(T)/Z(T).$

Skupina je konečná, protože ' má konečný index v .

W(T,G)

Z(T)

N(T)

maximální torus (a tedy ), pak se výsledná kvocientová grupa nazývá Weilova grupa a značí se .

T=T_0

Z(T_{0})=T_{0}

W(T_{0},G)=N(T_{0})/Z(T_{0})

G

W(G)

Ačkoli tato konstrukce závisí na volbě maximálního torusu , všechny takto získané skupiny jsou izomorfní.
Jestliže je kompaktní a souvislá Lieova grupa, pak je její Weilova grupa izomorfní s Weylovou grupou její Lieovy algebry. $G$

Weilova skupina působí permutacemi na Weilovy komory, tato akce je volná a tranzitivní .
- Zejména počet Weylových komůrek se rovná řádu Weylovy skupiny.

Weylovy skupiny jsou konečné Coxeterovy skupiny . To jim umožňuje klasifikovat je jako Coxeter-Dynkinovy diagramy .

Weilova grupa Lie algebry je symetrická grupa na n prvcích, . Jeho působení lze popsat následovně. Jestliže je Cartanova subalgebra všech diagonálních matic s nulovou stopou, pak působí na permutaci diagonálních prvků permutace matic . Tato akce vyvolává akci na duálním prostoru , což je ve skutečnosti akce Weylovy skupiny. ${\mathfrak {sl}}_{n}$ $S_{n}$ ${\mathfrak {h))$ $S_{n}$ ${\mathfrak {h))$ ${\mathfrak {h}}^{\ast }$

Pro obecnou lineární grupu GL je maximální torus tvořen podgrupou D invertibilních diagonálních matic. Normalizátor podskupiny D je skupina zobecněných permutačních matic (matice jako permutační matice , ale s libovolnými nenulovými čísly namísto jedniček). Weilova skupina je symetrická skupina . V tomto případě se mapa N → N / T rozdělí, takže normalizátor N je polopřímý produkt torusu a Weilovy skupiny, a proto lze Weylovu skupinu identifikovat s podskupinou G .
- Obecně tomu tak není vždy - kvocient se ne vždy rozdělí, normalizátor N není vždy polopřímý součin a Weilova grupa není vždy realizována jako podgrupa G .