Stratifikovaný produkt

Vláknový produkt ( vrstvový produkt , koamalgám , karteziánský čtverec , anglický pullback ) je teoretický koncept definovaný jako limita diagramu sestávajícího ze dvou morfismů : Vláknový produkt je často označován jako $X\to Z\leftarrow Y.$ $X\times _{Z}Y.$

Duální koncept je codecartes square .

Obecná vlastnost

Nechť je kategorii dána dvojice morfismů a vláknitý součin a over je objekt spolu s morfismy , pro které je následující diagram komutativní: $C$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z.$ $X$ $Y$ $Z$ $P=X\times _{Z}Y$ $p_{1},p_{2},$

Kromě toho musí být vláknitý produkt univerzální objekt s následující vlastností: pro jakýkoli objekt s párem morfismů , které doplňují pár ke komutativnímu čtverci, existuje jedinečný morfismus , takže níže uvedený diagram je komutativní: $Q,$ $q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,$ $(f,g)$ $u\colon Q\to P,$

Vnitřní čtverec tohoto diagramu tvořený morfismy se nazývá kartézský (nebo kouniverzální) čtverec pro dvojici morfismů a ${\displaystyle f,g,p_{1},p_{2))$ $F$ $g.$

Stejně jako ostatní objekty definované univerzální vlastností , vláknitý produkt nemusí nutně existovat, ale pokud ano, je definován až do izomorfismu.

Příklady

V kategorii souprav je vláknitým výrobkem souprav a s vyobrazeními souprava $X$ $Y$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z$

{\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\))

spolu s přirozenými projekcemi na komponenty.

Obdobně je definován vláknitý výrobek v kategorii komutativních kroužků .

Vláknový produkt lze také popsat dvěma asymetrickými způsoby: ${\mathbf {Sada}}$

X\times _{Z}Y

\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]

\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],

kde je disjunktní spojení množin. $\coprod$

Viz také

Indukovaný svazek

Literatura

Goldblatt R. Topoi. Kategorická analýza logiky = Topoi. Kategoriální analýza logiky / Per. z angličtiny. V. N. Grishin a V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
Gorodentsev A. L. Algebra pro studenty matematiky. Část II . - M. , 2015. - S. 160.
McLane S. Kapitola 3. Univerzální konstrukce a limity // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Tvář K. Algebra - kroužky, moduly a kategorie, svazek 1. - M . : Mir - svazek 190 řady Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften - 1977 [1973].
Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstraktní a konkrétní kategorie. Radost koček . - Willey & Sons , 1990. - S. 524. - ISBN 0-471-60922-6 .