Banach-Tarski paradox

Banach-Tarski paradox (také nazývaný paradox zdvojení míče a Hausdorff-Banach-Tarski paradox ) je teorém v teorii množin , který říká, že trojrozměrná koule se rovná svým dvěma kopiím.

Dvě podmnožiny euklidovského prostoru se nazývají stejně složené , pokud lze jednu rozdělit na konečný počet (nemusí být nutně spojen ) po párech neprotínajících se částí, přesunout je a vytvořit z nich druhou (v mezipoloze se části mohou protínat, ale v počáteční a konečné nemohou).

Přesněji řečeno, dvě množiny a jsou stejně složené, pokud je lze reprezentovat jako konečné spojení párově disjunktních podmnožin tak, že pro každou je podmnožina shodná .

Je dokázáno, že na zdvojnásobení míče stačí pět dílů, ale čtyři nestačí.

Platí také silnější verze paradoxu :

Jakékoli dvě ohraničené podmnožiny trojrozměrného euklidovského prostoru s neprázdným vnitřkem jsou složeny stejně.

Protože se odvození tohoto teorému může zdát nepravděpodobné, někdy se používá jako argument proti přijetí axiomu výběru , který je nezbytný při konstrukci takového rozdělení. Přijetí vhodného alternativního axiomu umožňuje prokázat nemožnost zadaného rozdělení a neponechává žádný prostor pro tento paradox.

Zdvojení koule, byť z pohledu každodenní intuice velmi podezřelé (opravdu z jednoho pomeranče nelze vyrobit dva jen nožem), přesto nejde o paradox v logickém smyslu slovo, protože nevede k logickému rozporu , stejně jako takzvaný holičský paradox nebo Russellův paradox vede k logickému rozporu .

Historie

Tento paradox objevili v roce 1926 Stefan Banach a Alfred Tarski . Velmi podobný dřívějšímu Hausdorffovu paradoxu a jeho důkaz je založen na stejné myšlence. Hausdorff ukázal, že to nelze provést na dvourozměrné sféře, a tedy v trojrozměrném prostoru, a Banach-Tarského paradox to poskytuje jasnou ilustrací.

Poznámky

Rozdělením koule na konečný počet částí intuitivně očekáváme, že sečtením těchto částí dohromady získáme pouze pevné obrazce, jejichž objem se rovná objemu původní koule. To však platí pouze v případě, kdy je míč rozdělen na části, které mají objem.

Podstata paradoxu spočívá v tom, že v trojrozměrném prostoru existují neměřitelné množiny , které nemají objem, pokud objemem rozumíme něco, co má vlastnost aditivity , a předpokládáme, že objemy dvou kongruentních množin se shodovat.

Je zřejmé, že "kusy" v Banach-Tarski oddílu nemohou být měřitelné (a v praxi je nemožné takový oddíl jakýmkoli způsobem implementovat).

Pro plochý kruh podobná vlastnost neplatí. Navíc Banach ukázal, že v rovině může být koncept plochy rozšířen na všechny ohraničené množiny jako konečně aditivní míra , invariantní při pohybech; konkrétně každá množina, která je stejně vzdálená kružnici, má stejnou plochu.

Přesto jsou v rovině možná i některá paradoxní rozdělení: kruh lze rozdělit na konečný počet částí a vytvořit z nich čtverec o stejné ploše [1] [2] ( kvadratura Tarského kruhu ).

Poznámky

  1. ↑ Miklos Laczkovich: „Equidecomposability and discrepance: a solution to Tarski's circle squad problem“, Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) str. 77-117.
  2. ↑ Miklos Laczkovich: "Paradoxní rozklady: přehled nedávných výsledků." First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paříž, 1992), str. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basilej, 1994.

Literatura