Řada (matematika)

Série , nazývaná také nekonečný součet , je jedním z ústředních pojmů matematické analýzy . V nejjednodušším případě je řada zapsána jako nekonečný součet čísel [1] :

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Krátká poznámka: (někdy číslování termínů nezačíná od 1, ale od 0)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Zde je posloupnost reálných nebo komplexních čísel ; tato čísla se nazývají členy řady . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

Chcete-li přiřadit hodnotu součtu číselné řadě, zvažte posloupnost „ částečných součtů “, která je výsledkem ukončení nekonečného součtu v nějakém členu:

S_{1}=a_{1}

S_{2}=a_{1}+a_{2}

{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3))

\cdots

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\tečky +a_{n))

\cdots

Pokud má posloupnost dílčích součtů limitu (konečnou nebo nekonečnou), pak říkají, že součet řady je roven Současně, je-li limita konečná, pak říkají, že řada konverguje . Jestliže limita neexistuje nebo je nekonečná, pak se říká, že řada diverguje [1] . $S$ $S.$

Pro objasnění klíčové otázky analýzy, zda daná řada konverguje či nikoli, byla navržena řada konvergenčních kritérií .

Číselné řady a jejich zobecnění (viz níže o nenumerických řadách ) se všude používají v matematické analýze pro výpočty, pro analýzu chování různých funkcí, při řešení algebraických nebo diferenciálních rovnic . Rozšíření funkce v řadě lze považovat za zobecnění zadání vektoru pomocí souřadnic , tato operace nám umožňuje redukovat studium komplexní funkce na analýzu elementárních funkcí a usnadňuje numerické výpočty [2] . Série jsou nepostradatelným výzkumným nástrojem nejen v matematice, ale také ve fyzice, astronomii, informatice, statistice, ekonomii a dalších vědách.

Číselná řada

Příklady

Nejjednodušším příkladem konvergentní řady je součet členů nekonečné geometrické posloupnosti [3] se jmenovatelem : $|q|<1$

a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots

Částečný součet Limita tohoto výrazu je součtem nekonečné geometrické posloupnosti [1] . Například, když dostanete řadu, jejíž součet je 2: $S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q)),$ $a=1,q={\frac {1}{2))$

2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\tečky

Desetinné číslo s nekonečnou zlomkovou částí lze považovat za součet řady [3] ; například číslo je součtem následující řady: $\pi =3{,}1415926\tečky$

3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+ {\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\tečky

Složitějším příkladem je řada inverzních čtverců , jejichž součet nejlepší matematici v Evropě nemohli najít více než 100 let [4] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Řada se rozchází, její součet je nekonečný. Harmonická řada také diverguje : " Grundyho řada " diverguje , její dílčí součty se pohybují od 1 do 0, takže pro dílčí součty není žádné omezení, tato řada součet nemá [5] . $1+1+1+\dots$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))={\infty }.$ $1-1+1-1+1-1\dots$

Klasifikace

Kladná řada [6] je skutečná řada, jejíž všechny členy jsou nezáporné. Pro kladné řady součet vždy existuje, ale může být nekonečný [7] .

Střídavá řada je skutečná řada, ve které se střídají znaménka termínů: plus, mínus, plus, mínus atd. Pro takové řady existuje jednoduchý Leibnizův test konvergence . Střídavá verze výše uvedené harmonické řady , na rozdíl od druhé, konverguje [8] :

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)

Absolutní a podmíněná konvergence

Říká se, že skutečná nebo komplexní řada konverguje absolutně , pokud konverguje řada modulů ( absolutních hodnot ) jejích členů [8] :

\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|

Absolutně konvergentní řada také konverguje v obvyklém smyslu tohoto pojmu. Každá taková řada má zároveň důležitou vlastnost přemístitelnosti: pro jakoukoli permutaci členů absolutně konvergentní řady získáme konvergentní řadu se stejným součtem [9] . Zejména u kladných konvergentních řad můžete členy řady jakkoli přeskupit, na konvergenci a součet to nemá vliv [10] .

Pokud číselná řada konverguje, ale ne absolutně, říká se, že je podmíněně konvergentní . Příklad:

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dots

Samotná řada konverguje, ale řada jejích absolutních hodnot ( harmonická řada ) se rozchází [8] .

Vlastnosti podmíněně konvergentních řad [8] .

Pokud řada konverguje podmíněně , pak jak řada jejích kladných členů, tak řada jejích záporných členů se rozchází.
- Důsledek (kritérium absolutní konvergence): řada reálných čísel konverguje absolutně tehdy a jen tehdy, když konvergují jak řada jejích kladných členů, tak řada záporných členů.
( Riemannův teorém ): Přeskupením členů podmíněně konvergentní řady lze získat řadu s jakýmkoli daným reálným součtem.

Operace s řádky

Nechť konvergentní řady a být dány . Pak: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Jejich součet se nazývá rozdílová řada – řada $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),$ $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).$

Pokud obě řady konvergují k resp ., pak jejich součet a rozdíl také konvergují. Součet konvergentních a divergentních řad vždy diverguje [11] :

S_{1}

S_{2}

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{ \infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}

, Jestliže obě řady konvergují absolutně, pak součet a rozdíl těchto řad také konvergují absolutně [12] .

Jejich produkt Cauchy je řada , kde: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n))$

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\tečky +(a_{1}b_ {n}+a_{2}b_{n-1}+\tečky +a_{n}b_{1})

Pokud alespoň jedna z původních řad konverguje absolutně, pak součin řady konverguje [13] .

Nezbytné kritérium pro konvergenci číselné řady

Řada může konvergovat pouze tehdy, pokud člen (společný člen řady) má tendenci k nule, když se její číslo zvyšuje [14] : ${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots$ ${\displaystyle {a}_{n))$

\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.

To je nezbytný znak konvergence řady, ale nestačí - např. pro harmonickou řadu se společný člen s rostoucím číslem neomezeně zmenšuje, přesto řada diverguje. Pokud společný člen řady neinklinuje k nule, pak řada jistě diverguje [14] .

Konvergentní řady

Vlastnost 1. Pokud řada

\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a }_{4}+\ldots

(1.1)

konverguje a jeho součet je , pak řada $S$

\sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3 }+c{a}_{4}+\ldots

(1.2)

kde je libovolné číslo, také konverguje a jeho součet je . Jestliže řada (1.1) diverguje a , pak řada (1.2) diverguje. $C$ $cS$ $c\neq 0$

Vlastnost 2 ( asociační právo ). V konvergentní řadě můžete sousední členy libovolně spojovat do skupin, aniž byste porušili jejich pořadí [15] .

Tuto vlastnost lze použít k prokázání divergence řady: pokud se po zadaném seskupení získá divergentní řada, diverguje i původní řada.

Nevyřešené problémy

Stále není známo, zda Flint Hills Series konverguje [16 ] :

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {cosec} ^{2}(n)}{n^{3))))

Pokud je možné dokázat, že tato řada konverguje, pak se v důsledku ukáže důležitý fakt: míra iracionality čísla $\pi$ je menší než 2,5.

Je známo, že součet řady inverzních čtverců a součty jiných řad s reciprokými sudými mocninami jsou vyjádřeny jako mocniny čísla, $\pi,$ ale o součtu inverzních krychlí (" Aperiho konstanta ") je známo jen málo:

{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\ frac {1}{4^{3}}}+\tečky \cca 1{,}2020569

Tuto hodnotu se zatím nikomu nepodařilo spojit s klasickými konstantami nebo elementárními funkcemi [17] .

Řada s nečíselnými členy

Pojem nekonečné řady a jejího součtu lze zavést nejen pro čísla, ale i pro další matematické objekty , pro které je definováno sčítání a pojem blízkosti, což umožňuje určit limitu. Například řady funkcí jsou široce používány v analýze : mocninné řady , Fourierovy řady , Laurentovy řady . Členy řady mohou být také vektory , matice atd.

Obecná definice

Řada (nebo nekonečný součet ) v matematice je posloupnost prvků ( členů dané řady ) nějakého topologického vektorového prostoru , uvažovaná společně se sadou dílčích součtů členů řady (parciální součty jsou definovány ve stejném způsobem jako v číselné řadě). Je-li pro posloupnost dílčích součtů definována limita : pak se hodnota nazývá součet dané řady a řada samotná se nazývá konvergentní (jinak divergentní ) [18] . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},$ $S$

Řady lze vždy sčítat nebo odečítat člen po členu a součet a rozdíl konvergentních řad také konvergují. Pokud jsou členy řady převzaty z kruhu nebo pole , pak řada sama o sobě tvoří kruh s ohledem na sčítání a Cauchyho součin .

Funkční řada

Definice a vlastnosti

Řada se nazývá funkcionální , pokud všechny její členy jsou funkce definované na nějaké množině:

a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad

krátká poznámka:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)

Dílčí součty jsou v tomto případě také funkce definované na stejné množině. Řada se nazývá konvergentní na množině , pokud pro jakoukoli pevnou číselnou řadu konverguje [2] : $X$ $x_{0}\v X$

a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+ \ldots

Množina se nazývá oblast konvergence řady. Součet řady je samozřejmě také funkcí $X$ $X.$

Příkladem je rozšíření řady racionálního zlomku:

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Tato řada konverguje v intervalu . $(-1;\;1)$

Mezi hlavní typy funkčních řad:

mocninná řada (zejména Taylorova řada );
trigonometrické řady ; zejména Fourierova řada ;
řady Laurenta .

Kromě výše definované „bodové“ konvergence lze v různých prostorech použít další normy blízkosti , na kterých závisí existence limity parciálních součtů. Například lze definovat „čebyševskou normu“ [19] .

Rovnoměrná konvergence

Obecně řečeno, vlastnosti součtu se mohou lišit od vlastností členů řady — například součet řady spojitých funkcí nemusí být spojitý [20] .

O funkční řadě konvergující na množině se říká, že konverguje rovnoměrně (na této množině) [21] , jestliže posloupnost dílčích součtů řady konverguje rovnoměrně na . $X$ $X$

Existuje několik znaků, které umožňují ověřit rovnoměrnou konvergenci řady [21] :

Důležitost konceptu rovnoměrné konvergence řady ukazují následující věty (všechny funkce jsou považovány za reálné).

Součet řady funkcí, které jsou v určitém bodě spojité, bude v tomto bodě sám spojitý, za předpokladu, že funkční řada v bodě rovnoměrně konverguje. Konkrétně součet rovnoměrně konvergentní řady reálných funkcí, které jsou spojité na segmentu , bude také spojitý na tomto segmentu [22] . $x_{0}$ $x_{0}$ $[a,b],$
Pokud jsou funkce spojitě diferencovatelné na intervalu a obou řadách: $f_{n}(x)$ $[a,b]$

f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots

{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{ dx}}+\tečky

konvergují k , a řada derivátů konverguje rovnoměrně, pak součet řady má derivaci a řadu lze diferencovat člen po členu [23] :

[a,b]

{\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1} (x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\tečky

Pokud jsou funkce na intervalu spojité a řada k funkci konverguje rovnoměrně, lze řadu integrovat člen po členu [24] : $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

\int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n }}(x)dx

Podmínka jednotné konvergence zaručuje, že řada napravo konverguje.

Pokud jsou funkce Riemannově integrovatelné na segmentu a řada k funkci konverguje rovnoměrně, pak součet řady bude také Riemannově integrovatelný [24] . $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots$ $[a,b]$ $F(x),$

Příkladem nestejnoměrně konvergentní mocninné řady je geometrická progrese , která v intervalu konverguje k funkci , ale ne rovnoměrně (jak dokazuje nekonečný skok součtu při přiblížení k 1) [25] . $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ $[0,1)$ ${\frac {1}{1-x)),$

Řada matic

V kruhu numerických čtvercových matic pevného řádu rozumíme -okolí matice množinu matic , jejíž všechny složky se liší méně nežodpovídajících složek ood je limitem příslušné posloupnosti $n$ $\varepsilon$ $A$ $A$ $\varepsilon.$ $L$ $A_{1},A_{2},A_{3}\dots$ ${\displaystyle L_{ik))$ $A_{ik}.$

Nyní je možné pomocí obecných pravidel definovat řady číselných matic, pojem konvergence řad (včetně absolutní konvergence) a součet konvergentní řady. Jinými slovy, řada řádových matic konverguje, pokud řada jejích složek konverguje, a součet je maticí obsahující odpovídající limity těchto řad [26] . $n$ $n^{2}$

Mocninná řada pro matice má tvar [26] :

a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\tečky ,

kde jsou dané číselné koeficienty, je matice identity , je matice neznámých. Tato řada je ekvivalentem systému číselných řad. Abychom odhadli jeho konvergenci, složíme obvyklou mocninnou řadu komplexních čísel: $a_{0},a_{1},\tečky$ $já$ $X$ $n^{2}$

a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\tečky

Nechť poloměr konvergence této řady je Pak platí následující věty [26] : $R.$

Maticová mocninná řada konverguje absolutně pro všechny matice umístěné v sousedství nulové matice , kde $\varepsilon$ $\varepsilon =R/n.$
Pokud maticová mocninná řada konverguje v oblasti , kde je matice s kladnými složkami a je maticí modulů neznámých, pak konverguje absolutně v této oblasti. $|X|<P,$ $P$ $|X|$

Pro příklad mocninné řady z matic viz exponent matice . Pomocí řad lze definovat standardní funkce pro čtvercové matice (například sinus ).

Variace a zobecnění

Zobecněním pojmu řady je pojem dvojité řady , jejíž členy jsou číslovány nikoli jedním, ale dvěma indexy [27] .

Zobecněním pojmu součtu řady je pojem součtové funkce řady , jehož volba činí pojem součtu divergentní (v klasickém smyslu) řady přijatelným. Bylo navrženo mnoho variant takového zobecnění: Poisson-Abelova konvergence , Borel , Cesaro , Euler , Lambert a další [28] .

Historie

Starověké období

Starověcí matematici v souladu s pythagorejskou ideologií odmítali všechny skutečně nekonečné pojmy, včetně nekonečných řad. Došlo však k některým omezeným aplikacím konceptu série. Například Archimedes , aby vypočítal plochu segmentu paraboly , skutečně našel součet nekonečné geometrické progrese [29] :

1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+ \cdots ={4 \over 3}

Van der Waerden o tom píše: "Archimedes nemluví o součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti, nezná ještě výraz" součet nekonečné řady ", ale dokonale vlastní podstatu tohoto pojmu." V několika úlohách řešených Archimédem pro výpočet plochy nebo objemu používá, v moderní terminologii, horní a dolní integrální součty s neomezeným počtem členů. Vzhledem k absenci konceptu limity byla k odůvodnění výsledku použita těžkopádná metoda vyčerpání [29] .

Kerala School

Indičtí matematici , kteří nebyli vázáni pythagorejskými omezeními, významně pokročili v teorii řad a úspěšně ji aplikovali. Největšího úspěchu dosáhla v 15.-16. století Keralská škola astronomie a matematiky (jižní Indie) . Pro astronomické výpočty byli Kerala lidé poprvé v historii schopni najít expanzi trigonometrických a dalších funkcí do nekonečných řad:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Obecnou teorii takových expanzí však neměli, pro získání těchto vzorců byl rektifikován oblouk kružnice [30] [31] . V Evropě byla podobná série pro arctangent poprvé publikována Jamesem Gregorym v roce 1671 a série pro sinus a kosinus od Isaaca Newtona v roce 1666.

Ze série pro arkus tangens získaly Keralas dobrou aproximaci pro číslo $\pi$ : $3{,}141592653.$

V Evropě zůstaly úspěchy keralské školy dlouhou dobu neznámé a byly znovu objeveny nezávisle.

17. století

Přibližně do 17. století se nekonečné řady ve spisech evropských matematiků objevovaly jen zřídka. Za zmínku stojí práce anglického matematika Richarda Swainsheada ze 14. století , který sérii shrnul [32] :

{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\ frac {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.

V 17. století jsou nekonečné řady již ve všeobecném zájmu a začínají se využívat při řešení mnoha praktických problémů - přibližné výpočty , interpolace , teorie logaritmů atd.

V roce 1647 objevil Grégoire de Saint-Vincent spojení mezi logaritmem a oblastí pod hyperbolou (viz obrázek). V roce 1650 na základě geometrických úvah publikoval italský matematik Pietro Mengoli v pojednání „ Nové aritmetické kvadratury “ expanzi do nekonečné řady [33] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\tečky

Mengoli také zkoumal jiné řady a dokázal, že harmonická řada se liší; Mengoli také ukázal, že inverzní čtvercová řada konverguje, ačkoli nebyl schopen najít její součet [33] .

V roce 1668 německý matematik Nicholas Mercator (Kaufmann), žijící tehdy v Londýně, v pojednání „ Logarithmotechnia “ poprvé uvažoval o expanzi do řady nikoli čísel, ale funkcí, čímž položil základ pro teorii mocninných řad . [33] :

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\ctečky

Jako univerzální nástroj pro studium funkcí a numerických výpočtů použili nekonečné řady Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz , tvůrci matematické analýzy . V polovině 17. století Newton a Gregory objevili binomickou expanzi pro jakýkoli, nejen celočíselný exponent (poprvé publikováno v Algebře od Wallise , 1685): $\alpha$

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...

Řada konverguje k S pomocí tohoto vzorce byl Newton poprvé schopen vypočítat oblouk elipsy jako řadu (v moderní terminologii vypočítal eliptický integrál ) [34] . Newton také ukázal, jak používat řady k řešení rovnic, včetně diferenciálních rovnic prvního řádu , a prozkoumat integrály, které nejsou vyjádřeny pomocí elementárních funkcí [35] . $|z|\leqslant 1.$

Koncem 17. století byly známy expanze do řad všech elementárních funkcí . Leibniz a Gregory objevili (1674) první evropské rozšíření čísla $\pi$ ( Leibnizova řada ):

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

Na přelomu století (1689-1704) vydal Leibnizův žák Jacob Bernoulli první monografii v pěti svazcích pod názvem Propositiones aritmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ( Propositiones aritmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ). Ukázal použití sérií k řešení široké škály problémů.

XVIII-XIX století

V roce 1715 vydala Brooke Taylor základní Taylorovu sérii (dlouho známou však Gregorymu a Newtonovi).

Obrovský příspěvek k teorii řad měl Leonhard Euler . Byl první, kdo našel součet řady inverzních čtverců , vyvinul metody pro zlepšení konvergence řad, začal studovat trigonometrické řady , navrhl koncept zobecněného součtu řady vhodných pro divergentní řady. Samotný pojem „ analytická funkce “ byl spojen s možností její reprezentace ve formě mocninné řady.

V 19. století vybudovali Cauchy a Weierstrass rigorózní základy pro analýzu a zejména rigorózní teorii řad. Byl představen důležitý koncept jednotné konvergence a byla formulována různá kritéria pro konvergenci.

Teorie trigonometrických řad se rychle rozvíjela . Daniil Bernoulli také vyjádřil přesvědčení, že libovolnou (spojitou) funkci na daném intervalu lze reprezentovat trigonometrickou řadou [36] . Diskuse na toto téma pokračovaly až do roku 1807, kdy Fourier publikoval teorii reprezentace libovolných po částech analytických funkcí trigonometrickými řadami (konečná verze je obsažena v jeho Analytical Theory of Heat, 1822) [37] . Aby rozšířil funkci ve Fourierově řadě, dal integrální vzorce pro výpočet koeficientů [37] . Fourierův výklad nebyl přísný v moderním smyslu, ale už obsahoval vyšetřování konvergence většiny sérií, které on získal. $f(x)$ $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})$

Současně, série v komplexní analýze , včetně Laurent série , byl široce rozvinutý a použitý v 19. století . Použití řad v přírodních vědách začalo - v nebeské mechanice (k vyřešení problému tří těles ), v optice , teorii vedení tepla , ke konci století - v teorii elektromagnetismu .

Ve 20. století se pojem série rozšířil na širokou třídu matematických objektů , ne nutně numerických.

Poznámky

↑ 1 2 3 Fikhtengolts, 1966 , str. 257-258.
↑ 1 2 Matematická encyklopedie, 1984 , str. 1068-1070.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 258-259.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 52, 178.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 32-33, 52-53.
↑ Vygodsky, 1977 , str. 540.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 50-71.
↑ 1 2 3 4 Vorobjov, 1979 , s. 72-85.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 315.
↑ Vilenkin a kol., 1982 , str. 55.
↑ Vilenkin a kol., 1982 , str. patnáct.
↑ Vilenkin a kol., 1982 , str. 67, ex. 56.
↑ Rudin, Walter. Principy matematické analýzy . - McGraw-Hill, 1976. - S. 74 .
↑ 1 2 Vorobyov, 1979 , s. 38-39.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 40-41.
↑ Řada Flint Hills . Staženo 11. 5. 2019. Archivováno z originálu 11. 5. 2019. (neurčitý)
↑ Weisstein, konstanta Erica W. Apéryho na webu Wolfram MathWorld .
↑ Matematická encyklopedie, 1984 , str. 1063.
↑ Vilenkin a kol., 1982 , str. 80-82.
↑ Vilenkin a kol., 1982 , str. 86, ex. 70.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 428-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 430-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 438-439.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 436-438.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 424.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V. I. Kurz vyšší matematiky. - 10. vyd. - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2010. - T. 3 část 2. - S. 369-374. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
↑ Vorobjov, 1979 , s. 233-258.
↑ Vorobjov, 1979 , s. 281-306.
↑ 1 2 Van der Waerden . Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. - M. : Nauka, 1959. - S. 302-303, 309-310. — 456 s.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 202-203.
↑ Paplauskas A. B. Přednewtonské období vývoje nekonečných řad. Část I // Historický a matematický výzkum . - M .: Nauka, 1973. - Vydání. XVIII . - S. 104-131 .
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 275.
↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 158-166.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 231.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 246-247.
↑ Paplauskas A. B. Trigonometrické řady. Od Eulera po Lebesgue. - M .: Nauka, 1966. - S. 26-27. — 277 s.
↑ 1 2 Trigonometrické řady // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 5.

Literatura

Vilenkin N. Ya. , Tsukerman V. V., Dobrokhotová M. A., Safonov A. N. Rows. - M . : Vzdělávání, 1982. - 160 s.
Vorobyov N. N. Teorie řad. - 4. vyd. — M .: Nauka, 1979. — 408 s.
Vygodsky M. Ya. Příručka vyšší matematiky. - 12. vyd. - M. : Nauka, 1977. - 872 s.
Zorich V.A. Kapitola III. Omezit. § 1. Limit sekvence// Matematická analýza, část I. -M.: Nauka, 1981. - S. 104-114. — 544 s.
Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1970. - T.I.
Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
Pismenny D.T. Část 2 // Poznámky k přednáškám o vyšší matematice. - 6. vyd. - M .: Iris-press, 2008.
Řada // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 1063-1070.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, ve třech svazcích. - 6. vyd. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 680 s.

Odkazy

Savelyeva R. Yu. Vyšší matematika. Teorie řádků .

Slovníky a encyklopedie

Velký Rus
Brockhaus a Efron
okolo světa
Malý Brockhaus a Efron

V bibliografických katalozích
BNE : XX526931 BNF : 11933261z GND : 4049197-3 J9U : 987007531747905171 LCCN : sh85120237 NDL : 00567344 NKC : ph128240

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče