Funkční rozsah

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. srpna 2013; ověření vyžaduje 31 úprav .

Funkční řada je řada , jejíž každý člen na rozdíl od číselné řady není číslem , ale funkcí . $\ {u_{k}} (x)$

Funkční sekvence

Nechť je uvedena posloupnost komplexních funkcí na množině zahrnuté v d-rozměrném euklidovském prostoru . $\E$ $\ {\mathbb {R}}^{d}$

\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N} }

Bodová konvergence

Funkční posloupnost bodově konverguje k funkci if . $\ {u_{k}} (x)$ $\ {u} (x)$ $\forall x\in E\;\;\;\existuje \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$

Rovnoměrná konvergence

Existuje taková funkce , že: $\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$ $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$

Fakt jednotné konvergence posloupnosti k funkci je zapsán: $\ {u_{k}} (x)$ $\u(x)$ $\ {u_{k}}(x)\šipky doprava doprava u(x)$

Funkční rozsah

$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\součet _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — n-tý dílčí součet .

Konvergence

V matematice konvergence znamená existenci konečné limity pro číselnou posloupnost , součet nekonečné řady , hodnotu pro nevlastní integrál , hodnotu pro nekonečný součin .

Řada se nazývá bodově konvergentní, jestliže posloupnost jejích dílčích součtů bodově konverguje. $\{S_{n}} (x)$

Řada se nazývá rovnoměrně konvergentní, jestliže posloupnost jejích dílčích součtů konverguje rovnoměrně. $\{S_{n}} (x)$

Nezbytná podmínka pro rovnoměrnou konvergenci řady

$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0$ v $\k\rightarrow \infty$

Nebo ekvivalentně , kde X je oblast konvergence. $\forall \varepsilon >0\,\,\existuje n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\, \,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$

Cauchyho kritérium pro rovnoměrnou konvergenci

Cauchyho kritérium pro funkční sekvenci. Aby posloupnost funkcí definovaná na množině rovnoměrně konvergovala k této množině, je nutné a postačující, aby pro libovolné , počínaje určitým číslem , pro všechny , větší nebo rovno , současně pro všechny hodnoty funkcí a neliší se o více než . $\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty }$ $PROTI$ $\varepsilon >0$ $N=N(\varepsilon)$ $n,m$ $N$ $x \in V$ $f_{n}(x)$ $f_{m}(x)$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\;\existuje N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)- \ {f_{m}}(x)\vpravo|<\varepsilon

Absolutní a podmíněná konvergence

Řada se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje. Absolutně konvergentní řada konverguje. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$

Pokud řada konverguje, ale diverguje, pak se o řadě říká, že je podmíněně konvergentní. Pro takové řady platí Riemannův teorém o permutaci členů podmíněně konvergentní řady . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Známky jednotné konvergence

Znak srovnání

Řada konverguje absolutně a rovnoměrně, jsou-li splněny následující podmínky: $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Řada konverguje rovnoměrně. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{v_{k}}(x)$
$\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$

Zvláštním případem je Weierstrassovo kritérium , kdy . Funkční řada je tedy omezena na obvyklou. Vyžaduje obvyklou konvergenci. $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$

Sign of Dirichlet

Řada konverguje rovnoměrně, jsou-li splněny následující podmínky: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Posloupnost reálně oceněných funkcí je monotónní a $\ {a_{k}} (x)$ $\ \pro všechny x\v E$ $\ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0$
Dílčí součty jsou jednotně ohraničeny . $\ {S_{n}}(x)=\součet _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$

Abelův znak

Řada konverguje rovnoměrně, jsou-li splněny následující podmínky: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Posloupnost reálných funkcí je jednotně ohraničená a monotónní . $\ {a_{k}} (x)$ $\ \pro všechny x\v E$
Řada konverguje rovnoměrně. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Vlastnosti rovnoměrně konvergentních posloupností a řad

Věty o kontinuitě

Uvažujeme o komplexních funkcích na množině $\E$

Posloupnost funkcí spojitých v bodě konverguje k funkci spojité v tomto bodě.

Subsekvence

\ {u_{k}}(x)\šipky doprava doprava u(x)

\ \pro všechny k:

funkce je spojitá v bodě

\ {u_{k}} (x)

\ x_0

Pak je spojitý v .

\u(x)

\ x_0

Řada funkcí spojitých v bodě konverguje k funkci spojité v tomto bodě.

Řádek

\ \sum _{{k=0}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)

\ \pro všechny k:

funkce je spojitá v bodě

\ {u_{k}} (x)

\ x_0

Pak je spojitý v .

\S(x)

\ x_0

Integrační teorémy

Jsou uvažovány funkce reálné hodnoty na segmentu reálné osy.

Věta o přechodu k limitě pod znaménkem integrálu.

\ \pro všechny k:

funkce je na segmentu spojitá

\ {u_{k}} (x)

\ [a,b]

\ {u_{k}}(x)\šipky doprava doprava u(x)

\ [a,b]

Potom číselná posloupnost konverguje ke konečné limitě .

\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx))

Věta o integraci po členech.

\ \pro všechny k:

funkce je na segmentu spojitá

\ {u_{k}} (x)

\ [a,b]

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)

\ [a,b]

Potom číselná řada konverguje a je rovna .

\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k))(x)dx

\int \limits _{a}^{b}S(x)dx

Diferenciační teorémy

Jsou uvažovány funkce reálné hodnoty na segmentu reálné osy.

Věta o derivaci pod limitou.

\ \pro všechny k:

funkce je diferencovatelná (má spojitou derivaci) na segmentu

\ {u_{k}} (x)

\ [a,b]

\ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)

konverguje (ke konečnému limitu)

\ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)

na segmentu

\ [a,b]

Potom je rozlišitelné na , na

\ \existuje u(x):~{u_{k}}(x)\šipky doprava doprava u(x),~u(x)

\ [a,b]

\u'(x)=\omega(x)

\ [a,b]

Věta o derivaci členů.

\ \pro všechny k:

funkce je diferencovatelná na segmentu

\ {u_{k}} (x)

\ [a,b]

\ \exists c\in [a,b]:~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}u_{k}(c)

konverguje

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

konverguje rovnoměrně na segmentu

\ [a,b]

Potom je rozlišitelné na , na

\ \exists S(x):~\součet _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)

\ [a,b]

\ S'(x)=\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

\ [a,b]

Odkazy

O.V.Bešov. ‹…Š–ˆˆPřednášky o matematické analýze. Část 1 . - M. : MIPT, 2004. - 325 s. Kapitola 16 Funkční sekvence a řádky

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux