Série Leibniz

Leibnizova řada je střídavá řada pojmenovaná po německém matematikovi Leibnizovi , který ji studoval (ačkoli tato řada byla známá dříve):

1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac { 1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}} +{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1} }.

Konvergence této řady bezprostředně vyplývá z Leibnizovy věty pro střídavé řady . Leibniz ukázal, že součet řady se rovná Tento objev poprvé ukázal, že číslo , původně definované v geometrii, je ve skutečnosti univerzální matematická konstanta ; v budoucnu tato skutečnost nacházela stále nová potvrzení. ${\frac {\pi }{4}}.$ $\pi$

Míra konvergence

Leibnizova řada konverguje extrémně pomalu. Následující tabulka ukazuje míru konvergence k řadě vynásobené 4. $\pi$

n (počet členů série)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (částečný součet, správné znaky jsou zvýrazněny černě)	Relativní přesnost
2	2,666666666666667	0,848826363156775
čtyři	2,895238095238095	0,921582908570213
osm	3,017071817071817 _	0,960363786700453
16	3,079153394197426 _	0,980124966449415
32	3.1 10350273698686	0,990055241612751
64	3.1 25968606973288	0,995026711499770
100	3.1 31592903558553	0,996816980705689
1000	3,14 0592653839793	0,999681690193394
10 000	3,141 492653590043	0,999968169011461
100 000	3,1415 82653589793	0,999996816901138
1 000 000	3,14159 1653589793	0,999999681690114
10 000 000	3,141592 553589793	0,999999968169011
100 000 000	3,1415926 43589793	0,999999996816901
1 000 000 000	3,14159265 2589793	0,999999999681690

Historie

Leibnizovu řadu lze snadno získat rozšířením arkus tangens do Taylorovy řady [1] :

\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

Dostaneme Leibnizovu sérii. $x=1,$

Taylorova řada pro arkus tangens byla poprvé objevena indickým matematikem Madhavou ze Sangamagrama , zakladatelem Kerala School of Astronomy and Mathematics (XIV století). Madhava použil řadu [2] [3] k výpočtu čísla . Leibnizova řada s, jak je ukázáno výše, však konverguje extrémně pomalu, takže Madhava dal mnohem rychlejší konvergentní řadu [4] : $\pi$ $x=1,$ $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}- {\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\tečky \right).

Součet prvních 21 členů dává hodnotu a všechna znaménka kromě posledního jsou správná [5] . $3{,}14159265359$

Dílo Mádhavy a jeho žáků nebylo v Evropě 17. století známé a rozšíření arkus tangens nezávisle na sobě znovu objevili James Gregory (1671) a Gottfried Leibniz (1676). Některé zdroje proto navrhují nazývat tuto sérii „série Madhava-Leibniz“ nebo „série Gregory-Leibniz“. Gregory však tuto sérii s číslem nespojoval $\pi.$

Akcelerace konvergence

Další modifikací Leibnizovy řady, která ji činí prakticky vhodnou pro výpočet , je párové sjednocení členů řady. V důsledku toho dostaneme následující řádek: $\pi$

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1} {4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3))).

Pro další optimalizaci výpočtů můžete použít Euler-Maclaurinův vzorec a použít metody numerické integrace .

Viz také

harmonická řada

Poznámky

↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 401.
↑ Paplauskas A. B. Přednewtonské období vývoje nekonečných řad. Část I // Historický a matematický výzkum . - M .: Nauka, 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 .
↑ CT Rajagopal a MS Rangachari. O nevyužitém zdroji středověké keralské matematiky (anglicky) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1978. - Červen ( 18. díl ). - S. 89-102 . - doi : 10.1007/BF00348142 .
↑ Všudypřítomné číslo „pí“, 2007 , str. 47.
↑ R. C. Gupta. Madhavovy a další středověké indické hodnoty pí // Math . Vzdělání. - 1975. - Sv. 9 , č. 3 . -P.B45 - B48 .

Literatura

Žukov A. V. Všudypřítomné číslo „pí“. - 2. vyd. - M . : Nakladatelství LKI, 2007. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 2. - 864 s. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Gregory Series (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux