Trigonometrické Fourierovy řady

Trigonometrické Fourierovy řady - reprezentace libovolné funkce s periodou ve tvaru řady $F$ $2\pi$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(jeden)

nebo pomocí složitého zápisu jako řady:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

Bodový součin a ortogonalita

Nechť jsou dvě funkce prostoru . Pojďme definovat jejich skalární součin $\phi _{n}$ $\phi_m$ $L^2\left[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}\right]$

\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x) \phi_n(x)dx

Podmínka ortogonality

\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}( x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}

kde je symbol Kronecker . Skalární součin ortogonálních funkcí je tedy roven druhé mocnině normy funkce na nebo nula jinak. $\delta_{nm}$ $n=m$

V teorii Fourierových řad je klíčové následující pozorování: funkce formy jsou párově ortogonální vzhledem k tomuto skalárnímu součinu, to znamená pro všechna nezáporná celá čísla : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $k\neql$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx) dx = 0

a pro všechna nezáporná celá čísla $k$ $l$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0

Další důležitou vlastností je, že trigonometrický systém funkcí je základem v prostoru $L^2[0,2\pi]$ . Jinými slovy, pokud je nějaká funkce z tohoto prostoru ortogonální ke všem funkcím tvaru , pak je shodně rovna nule (přesněji řečeno nule téměř všude ). $\cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}$

Klasická definice

Trigonometrická Fourierova řada funkce je funkční řadou formy $f\in L_2([-\pi,\pi])$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(jeden)

kde

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.

Čísla a ( ) se nazývají Fourierovy koeficienty funkce . Vzorce pro ně lze vysvětlit následovně. Předpokládejme, že chceme reprezentovat funkci jako řadu (1) a potřebujeme určit neznámé koeficienty , a . Pokud vynásobíme pravou stranu (1) a integrujeme přes interval , v důsledku ortogonality na pravé straně zmizí všechny členy, kromě jednoho. Z výsledné rovnosti se koeficient snadno vyjádří . Podobně pro $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldots$ $F$ $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Řada (1) konverguje k funkci v prostoru . Jinými slovy, označíme-li dílčími součty řad (1): $F$ $L_2([-\pi,\pi])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

pak jejich standardní odchylka od funkce bude mít tendenci k nule: $F$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

Navzdory konvergenci odmocnina-střední čtverec, Fourierova řada funkce, obecně řečeno, není vyžadována, aby k ní bodově konvergovala (viz níže).

Složitý zápis

Často je při práci s Fourierovými řadami vhodnější použít jako základ exponenty imaginárního argumentu místo sinus a kosinus. Uvažujeme prostor $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ komplexních funkcí s vnitřním součinem

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Uvažujeme také o systému funkcí

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Stejně jako dříve jsou tyto funkce párově ortogonální a tvoří kompletní systém, a proto na ně může být rozšířena jakákoli funkce ve Fourierově řadě: $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

kde řada na pravé straně konverguje k normě v . Tady $F$ $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Koeficienty: jsou vztaženy ke klasickým Fourierovým koeficientům pomocí následujících vzorců: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0;

\hat{f}_0 = a_0/2;

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0;

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0;

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0.

Komplexní funkce reálné proměnné je rozšířena ve stejné Fourierově řadě v imaginárních exponentech jako reálná, ale na rozdíl od posledně jmenované pro její expanzi nebude, obecně řečeno, komplexně konjugovaná . $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Vlastnosti trigonometrické Fourierovy řady

Všechna tvrzení v této sekci jsou pravdivá za předpokladu, že funkce, které se jich účastní (a výsledky operací s nimi), leží v prostoru $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ .

Výpočet Fourierových koeficientů je lineární operace:

\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k

Parsevalova rovnost je pravdivá :

2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2

Fourierovy koeficienty derivace lze snadno vyjádřit pomocí Fourierových koeficientů samotné funkce:

\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k

Fourierovy koeficienty součinu dvou funkcí jsou vyjádřeny konvolucí Fourierových koeficientů faktorů:

\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{kj}

zvažte operaci konvoluce funkcí :

(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(tx)g(x) dx,

kde se předpokládá, že funkce jsou periodicky rozšiřovány z intervalu na celý řádek. Pak $[-\pi,\pi]$

\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k

Fourierovy expanze některých funkcí

Funkce	Fourierova řada
	${\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t }{5}}+\tečky\vpravo)$
	${\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n -1)t}{T}}$

Viz také

Poznámky

Literatura

Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrické Fourierovy řady a prvky teorie aproximace. - L . : Nakladatelství Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Rudin U. Základy matematické analýzy. — 1976.
Piskunov N. S. Diferenciální a integrální počet pro VTUZ. - M .: "Nauka", 1964. - T. 2.

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů