Darbouxův integrál

Darbouxův integrál je jedním ze způsobů, jak zobecnit Riemannův integrál na jakoukoli funkci ohraničenou intervalem. Existují horní a dolní Darbouxovy integrály. Darbouxovy integrály jsou geometricky horní a dolní oblasti pod grafem.

Definice

Abychom mohli definovat Darbouxovy integrály, musíme nejprve zavést pomocný pojem Darbouxových součtů.

Nechť je na segmentu definována funkce reálné proměnné . $[a,b]$ $F$

Rozdělení segmentu je konečná množina bodů tohoto segmentu, která zahrnuje body a . [1] Pro usnadnění dalších zápisů zavedeme notaci. Body oddílů označujeme jako a očíslujeme je vzestupně (od nuly): $\tau$ $[a,b]$ $A$ $b$ $\tau$ $x_{i}$

\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x }_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

Množina všech oddílů segmentu bude označena . $[a;b]$ $T$

Částečný segment oddílu se nazývá segment . $\Delta _{i}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]

Délku dílčího segmentu přepážky označme jako . $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))

Průměr přepážky je maximální délka dílčího segmentu přepážky . [2] $d$ $\Delta x_{i}$

d=\max \Delta x_{i}

Přesné plochy funkce na dílčích segmentech oddílu budou označeny a . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Potom se zavolá nižší Darbouxův součet funkce na oddílu $s(f,\tau )$ $F$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Horní Darbouxův součet se nazývá $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[3]

Pak je nižší Darbouxův integrál $já_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Horní Darbouxův integrál se nazývá $já^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[čtyři]

Alternativní definice

Existují také alternativní definice Darbouxových integrálů. Obvykle se prokazují jako vlastnosti.

Spodní Darbouxův integrál je limitem spodních Darbouxových součtů, protože průměr přepážky má tendenci k nule, a horní je limitem horních. [5]

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Dolní Darbouxův integrál je spodní hranicí integrálních součtů , protože průměr přepážky má tendenci k nule, a horní je horní hranicí. [6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau,\xi )

Vlastnosti

Vlastnosti Darbouxových součtů

Pro libovolné dva oddíly stejného segmentu nepřesahuje spodní Darbouxův součet na jednom oddílu horní Darbouxův součet na druhém oddílu. [7]

\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})

Spodní Darbouxovy součty jsou ohraničeny shora a horní součty jsou ohraničeny zdola. [čtyři]

Když jsou do stávajícího oddílu přidány nové body, spodní Darbouxův součet se nemůže žádným způsobem snížit a horní se nemůže žádným způsobem zvýšit. [7]

{\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned} }\quad \tau '

- broušení .

\tau

Změnu těchto součtů lze navíc provést následujícím odhadem. Nechť d je průměr , upřesnění se získá přidáním nejvíce bodů k a přesných ploch funkce na segmentu . Pak

\tau

\tau '

l

\tau

M

m

F

[a;b]

s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (Mm)ld

S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (Mm)ld

[5]

Nechť je integrální součet. Pro jakýkoli libovolný oddíl s označenými body platí následující nerovnost: $\sigma (f,\tau ,\xi )$ $(\tau ,\xi )$

s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )

[osm]

Darbouxovy součty jsou přesné tváře celočíselných součtů na daném oddílu. [7] Nechť je množina všech možných označených bodů na přepážce . Pak $\Xi$ $\tau$

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

Vlastnosti Darbouxových integrálů

Pro jakoukoli funkci ohraničenou intervalem existují Darbouxovy integrály a jsou konečné. [9] Pro funkci shora neomezenou je horní integrál , pro funkci zdola neomezenou je dolní integrál . $+\infty$ $-\infty$
Pro součty a integrály platí následující nerovnosti

s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )

[9]

Darbouxovo hlavní lemma. Limit nižších Darbouxových součtů, protože průměr dělení má tendenci k nule, existuje pro jakoukoli omezenou funkci a je rovna nižšímu Darbouxovu integrálu. Limit horních Darbouxových součtů existuje pro jakoukoli omezenou funkci, protože průměr přepážky má tendenci k nule a je roven hornímu Darbouxovu integrálu. [5]

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Darbouxovo hlavní lemma stanoví ekvivalenci první a druhé definice Darbouxových integrálů.

Darbouxovo kritérium. Riemannova integrovatelnost na funkci ohraničené tímto intervalem je ekvivalentní rovnosti horního a dolního Darbouxova integrálu na tomto intervalu. $[a;b]$ $F$

F

— Riemann integrovatelný [10]

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

Variace a zobecnění

Vícenásobný Darbouxův integrál

Analogicky s vícenásobným Riemannovým integrálem lze také definovat vícenásobný Darbouxův integrál. Nechť je Jordanova měřitelná množina a buď její rozdělení konečným počtem Jordanových měřitelných množin. Označme sady tohoto oddílu jako . $G$ $\tau$ $\Delta _{i}$

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}

Jordánskou míru označujeme . $\Delta x_{i}$ $\Delta _{i}$

Sada všech oddílů bude označena . $G$ $T$

Průměr přepážky je definován jako maximum z průměrů sad přepážek (průměr sady přepážek je nejmenší horní hranicí vzdáleností mezi jejími body). $d$

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|xy|

Přesné plochy funkce na sadách oddílů jsou označeny a . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Potom se zavolá nižší Darbouxův součet funkce na oddílu $s(f,\tau )$ $F$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Horní Darbouxův součet se nazývá $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[jedenáct]

Pak je nižší Darbouxův integrál $já_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Horní Darbouxův integrál se nazývá $já^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[12]

Všechny výše uvedené vlastnosti Darbouxových součtů a Darbouxových integrálů, stejně jako alternativní definice, jsou zachovány. [13]

Poznámky

↑ Ilyin, 1985 , str. 330.
↑ Ilyin, 1985 , str. 331.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 190.
↑ 1 2 Ilyin, 1985 , str. 337.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , str. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 208.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , str. 336.
↑ Ilyin, 1985 , str. 335.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , s. 191.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 553.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 559.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 548.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 550.

Literatura

Iljin V. A., Sadovničij V. A., Sendov Bl. X. Matematická analýza. Počáteční kurz. - 2. vyd., přepracované .. - M . : MGU, 1985. - 662 s. S.
Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Přednášky o matematické analýze: Učebnice pro univerzity a ped. vysoké školy. - M . : Vyšší škola, 1999. - 695 s. S. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. Ve 3 svazcích. 1. díl. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných . - M .: Drop, 2003. - 704 s. (Ruština)

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů