Simpsonův vzorec
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. prosince 2019; kontroly vyžadují 19 úprav .Simpsonův vzorec (také Newton -Simpson [1] ) odkazuje na techniky numerické integrace . Byl pojmenován podle britského matematika Thomase Simpsona (1710-1761).
Podstata metody spočívá v aproximaci integrandu na segmentu interpolačním polynomem druhého stupně , tedy aproximaci grafu funkce na segmentu parabolou. Simpsonova metoda má řád chyby 4 a algebraický řád přesnosti 3.
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Vzorec
Simpsonův vzorec je integrál interpolačního polynomu druhého stupně na segmentu :
kde a jsou hodnoty funkce v odpovídajících bodech (na koncích segmentu a v jeho středu).
Přesnost
Za předpokladu, že funkce na segmentu má čtvrtou derivaci , je chyba podle vzorce nalezeného Giuseppem Peano rovna:
![E(f)=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}{{f^{{(4)}}(\zeta ))),\ \ \ \zeta \in [a, b].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433d5ee51bf8430229b9d4b9461ee9f457929dc)
Vzhledem k tomu, že hodnota je často neznámá, používá se k odhadu chyby následující nerovnost:
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)^{5}}{2880}}\max \limits _{{x\in [a,b]}}{\left|f ^{{(4)}}(x)\right|}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0286f6a0dbc988cdd1a83b0303ac005d3e490372)
Reprezentace ve formě metody Runge-Kutta
Simpsonův vzorec lze reprezentovat jako tabulku metody Runge-Kutta takto:
Složený vzorec (Cotesův vzorec)
Pro přesnější výpočet integrálu je interval rozdělen na elementární segmenty stejné délky a Simpsonův vzorec je aplikován na složené segmenty. Každý složený segment se skládá ze sousední dvojice elementárních segmentů. Hodnota původního integrálu je součtem výsledků integrace na složených segmentech:
kde je velikost kroku a jsou střídající se hranice a středy složených segmentů, na které je aplikován Simpsonův vzorec. Jeden podobný složený segment se skládá ze dvou elementárních segmentů . Pokud tedy nakreslíme paralely s jednoduchým Simpsonovým vzorcem, pak se v tomto případě střed segmentu, na který je Simpsonův vzorec aplikován, stane . Obvykle se pro jednotnou mřížku tento vzorec zapisuje v jiném zápisu (segment je rozdělen na segmenty) ve formuláři
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\součet _{j= 1}^{N/2-1}f(x_{2j})+4\součet _{j=1}^{N/2}f(x_{2j-1})+f(x_{N}) \že jo],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d56e22c1c27c88d58eec2e54929f524d69aa1f5)
![{\displaystyle [x_{j-1},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662ade106e57ea7bf0999c9600edb80f2d5e9fa9)
![{\displaystyle [x_{j-1},x_{j}],[x_{j},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1999f53bbec26a0bdd09d31943eb43fb13bd5d3)
![\int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+ 2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{{N-1)))+f(x_{N}){\bigg ] }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c8c4e7dbfcaf9b3045745b4fd7b9240f1cae71)
Vzorec lze také napsat pouze pomocí známých hodnot funkce, tj. hodnot uzlů:
kde znamená, že index se změní z jedné s krokem rovným dvěma.![{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\cca {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{{k=1,2}}^{{N- 1}}\left[f(x_{{k-1}})+4f(x_{k})+f(x_{{k+1}})\vpravo]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f315f4a998aa231b1a8873ac449772d1907ca1)
Celková chyba při integraci přes segment s krokem (v tomto případě konkrétně , ) je určena vzorcem [2] :
.
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{2880}}h^{4}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(4)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec21769097e7f35df4c82f8eecbb44142061301e)
Pokud není možné odhadnout chybu pomocí maxima čtvrté derivace (například neexistuje na daném intervalu nebo má tendenci k nekonečnu), lze použít hrubší odhad:
.![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{288}}h^{3}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(3)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8a735a238d91d8943f1686a97dd9ce08a72663)
Ověření Simpsonova složeného vzorce v případě integrace úzkých píků
Simpsonův složený vzorec neprošel chybovým testem v případě úzkých (malý počet bodů na vrchol) funkcí podobných vrcholům, protože je mnohem méně účinný [3] než lichoběžníkové pravidlo. Totiž k dosažení stejné chyby jako v případě lichoběžníkového pravidla vyžaduje Simpsonovo složené pravidlo 1,8krát více bodů. Integrál Simpsonova složeného pravidla lze rozložit na superpozici dvou integrálů: 2/3 lichoběžníkového integrálu s krokem h a 1/3 pravidla centrálního obdélníku s krokem 2h a chyba Simpsonova složeného pravidla odpovídá druhému období. Uspokojivou modifikaci Simpsonova pravidla je možné sestrojit zprůměrováním schémat tohoto pravidla, získaných s posunem součtového rámce o jeden bod, a získají se následující pravidla [3] :
∫ A b F ( X ) d X ≈ h 24 [ − F ( X − jeden ) + 12 F ( X 0 ) + 25 F ( X jeden ) + 24 ∑ i = 2 n − 2 F ( X i ) + 25 F ( X n − jeden ) + 12 F ( X n ) − F ( X n + jeden ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\součet _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\vpravo]} ve kterých se používají hodnoty, které přesahují hranici integračního intervalu, popř ∫ A b F ( X ) d X ≈ h 24 [ 9 F ( X 0 ) + 28 F ( X jeden ) + 23 F ( X 2 ) + 24 ∑ i = 3 n − 3 F ( X i ) + 23 F ( X n − 2 ) + 28 F ( X n − jeden ) + 9 F ( X n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\součet _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\vpravo]} ve kterých se nepoužívají hodnoty mimo integrační interval. Aplikace druhého z pravidel na úsek o třech bodech generuje Simpsonovo pravidlo 1/3, na úsek o 4 bodech - 3/8.![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0 })+25f(x_{1})+24\součet _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\vpravo]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc5347b4c60f196ec77e48ad2daaab1bc90c8fc)
ve kterých se používají hodnoty, které přesahují hranici integračního intervalu, popř
∫
A
b
F
(
X
)
d
X
≈
h
24
[
9
F
(
X
0
)
+
28
F
(
X
jeden
)
+
23
F
(
X
2
)
+
24
∑
i
=
3
n
−
3
F
(
X
i
)
+
23
F
(
X
n
−
2
)
+
28
F
(
X
n
−
jeden
)
+
9
F
(
X
n
)
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\součet _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\vpravo]}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\cca {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\součet _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\vpravo]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d134f5a6cae73f7e38d5ffe1900ebb728c0d4ed8)
ve kterých se nepoužívají hodnoty mimo integrační interval. Aplikace druhého z pravidel na úsek o třech bodech generuje Simpsonovo pravidlo 1/3, na úsek o 4 bodech - 3/8.
V těchto pravidlech jsou váhy bodů v rámci integračního intervalu rovny jedné, rozdíly jsou pozorovány pouze na koncích úseku. Tato pravidla mohou být spojena s Euler-Maclaurinovým vzorcem , za předpokladu, že se bere v úvahu první derivace a nazývají se Euler-Maclaurinova pravidla prvního řádu [3] . Rozdíl mezi pravidly spočívá ve způsobu výpočtu první derivace na hranách integračního intervalu. Rozdíl prvních derivací na hranách integračního úseku zohledňuje příspěvek druhé derivace k integrálu funkce. Euler-Maclaurinův vzorec lze použít podobně jako výše uvedená pravidla prvního řádu ke konstrukci integračních pravidel třetího, pátého a vyššího řádu.
Viz také
Poznámky
- ↑ Newton-Simpsonův vzorec (nepřístupný odkaz) . Získáno 14. srpna 2009. Archivováno z originálu 22. května 2010.
- ↑ Numerické metody / N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. - 4. vyd. - M. : BINOM, Laboratoř znalostí, 2006. - S. 122. - 636 s. — ISBN 5-94774-396-5 .
- ↑ 1 2 3 Porovnání integračních pravidel v případě velmi úzkých chromatografických píků // Chemometrie a inteligentní laboratorní systémy. — 2018-08-15. — Sv. 179 . — S. 22–30 . — ISSN 0169-7439 . - doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001 .
Literatura
- Kostomarov DP , Favorskiy AP Úvodní přednášky o numerických metodách . M.: Logos, 2004. 184 s. ISBN 5-94010-286-7
- Petrov IB , Lobanov AI Přednášky z výpočetní matematiky . M.: Intuit, Binom, 2006. 523 s. ISBN 5-94774-542-9
| Integrální počet | ||
|---|---|---|
| Hlavní | ||
| Zobecnění Riemannova integrálu | ||
| Integrální transformace |
| |
| Numerická integrace | ||
| teorie míry | ||
| související témata | ||
| Seznamy integrálů | ||