Interpolační vzorce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. října 2016; kontroly vyžadují 6 úprav .

Interpolační vzorce - v matematice vzorce, které dávají přibližné vyjádření funkce pomocí interpolace , tj. pomocí interpolačního polynomu stupně , jehož hodnoty se v daných bodech shodují s hodnotami funkce na tyto body. Polynom je definován jedinečným způsobem, ale v závislosti na úloze je vhodné jej zapsat do různých vzorců. $f(x)$ $P_n(x)$ $n$ ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ ${\displaystyle y_{0},\;y_{1},\ldots ,y_{n))$ $F$ $P_n(x)$

Lagrangeův interpolační vzorec

Funkci lze interpolovat na segmentu interpolačním polynomem zapsaným v Lagrangeově tvaru [1] : $F$ $[x_{0},x_{n}]$ $P_n(x)$

P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots ( x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{ 1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},

zatímco chyba interpolace funkce polynomem [2] : $\f(x)$ $\P_n(x)$

|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x) \|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots(x-x_n).

V prostoru reálných spojitých funkcí mají odpovídající normy tvar:

\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n (x)\|=\max_{x \in [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.

Newtonův interpolační vzorec

Pokud jsou body umístěny ve stejných vzdálenostech , lze polynom zapsat jako [3] : ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ $(x_{k}=x_{0}+kh)$ $P_n(x)$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2))\Delta ^{2} y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.

Zde , a je konečný pořadí rozdíl . Jedná se o tzv. Newtonův vzorec pro dopřednou interpolaci. Jeho název naznačuje, že obsahuje dané hodnoty odpovídající interpolačním uzlům umístěným hned napravo od . Tento vzorec je vhodný při interpolaci funkcí pro hodnoty blízké . Při interpolaci funkcí pro hodnoty blízké , je vhodné transformovat Newtonův vzorec změnou počátku (viz níže Stirlingovy a Besselovy vzorce). $x_{0}+th=x$ $\Delta ^{k}$ $k$ $F$ $x_{0}$ $X$ $x_{0}$ $X$ $x_k$

Krátká forma Newtonova interpolačního vzorce pro případ ekvidistantních uzlů [4] :

P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\součet _{k=0}^{m}(-1) ^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\right)

kde jsou binomické koeficienty zobecněné na obor reálných čísel . $C_{x}^{m}$

Newtonův vzorec lze také napsat pro nestejně rozmístěné uzly s využitím dělených rozdílů . Na rozdíl od Lagrangeova vzorce, kde každý člen závisí na všech interpolačních uzlech, jakýkoli -tý člen Newtonova vzorce závisí na prvním (od počátku) uzlech a přidání nových uzlů pouze přidá nové členy do vzorce, což mu dává výhodu z hlediska nákladové efektivnosti kalkulací [ 5] . $k$

Stirlingův interpolační vzorec

Pokud použijeme množinu uzlů , kde , pak pomocí Newtonova vzorce získáme Stirlingův vzorec [6] : $x_{k}=x_{0}+kh$ $k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_ {0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}} \delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2}) }{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.

Zde a je centrální konečný rozdíl řádu . $t={\frac {x-x_{0}}{h}}$ ${\displaystyle \delta ^{k))$ $k$

Besselův interpolační vzorec

Podobným způsobem lze získat Besselův vzorec, který má tvar [7]

P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+ {\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^ {2}-(n-1)^{2})(tn)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}- 1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(tn)(t-{\frac {1}{2)))}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/}.

Tento vzorec je zvláště vhodný pro interpolaci v , protože v tomto případě zmizí všechny členy obsahující konečné rozdíly lichého řádu. Tento případ odpovídá hodnotě , tedy interpolaci "do středu" [8] . $t={\frac {1}{2}}$ $x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h$

Viz také

Poznámky

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 85.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 91.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 119.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 115.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 107.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 127.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 129.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 130.

Literatura

Gončarov, VL Teorie interpolace a aproximace funkcí. - 2. vyd., přepracované .. -M .:Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1954.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Výpočetní metody. - 2. vyd. -M.:Fizmatlit, 1962. - (Ruština)

Odkazy

[bse.sci-lib.com/article055748.html Velká sovětská encyklopedie]