Jordánská míra

Jordanova míra je jedním ze způsobů, jak formalizovat koncept délky , plochy a- rozměrného objemu v - rozměrném euklidovském prostoru . $n$ $n$

Definice

Jordanova míra může být definována jako jediná konečně aditivní míra definovaná na kruhu polytopů a splňující následující podmínky:

Míry kongruentních polytopů jsou stejné.
Míra jednotkové krychle je rovna jedné.

Maximální kroužek množin, na který lze jedinečným způsobem rozšířit Jordanovu míru, se nazývá kroužek kvadratických množin .

Konstrukce

Jordanova míra rovnoběžnostěnu je definována jako součin $m\Delta$ $\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]$ $\mathbb {R} ^{n}$

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Pro omezenou sadu jsou definovány následující: $E\podmnožina\R^n$

vnější jordánská míra $m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E$
vnitřní jordánské opatření $m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing$ , pokud $k\neq m,$

zde jsou rovnoběžnostěny výše popsaného typu. $\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N$

O množině se říká , že je měřitelná (nebo kvadratická ), jestliže . V tomto případě je jordánská míra . $E$ $m_{e}E=m_{i}E$ $mE=m_{e}E=m_{i}E$

Vlastnosti

Množiny, které jsou Jordanově měřitelné, tvoří prstenec , na kterém je Jordanova míra konečně aditivní mírou .
Jordanova míra je invariantní pod pohyby euklidovského prostoru.
Množina je Jordan měřitelná, pokud pro nějaký existuje pár polytopů a podobně $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\podmnožina F\podmnožina Q$ a . $mP+\varepsilon >mQ$
Ohraničená množina je Jordan měřitelná právě tehdy, když její hranice má Jordanovu míru nula (nebo ekvivalentně, když její hranice má Lebesgueovu míru nula ). Jordanově měřitelné jsou zejména všechny množiny, jejichž hranici tvoří konečný počet hladkých křivek a bodů. Existují však množiny ohraničené jednoduchou uzavřenou Jordanovou křivkou , které nejsou Jordanově měřitelné. $E\podmnožina\R^n$
Vnější jordánská míra je stejná pro a (uzavření sady ) a rovná se borelské míře . $E$ $\bar E$ $E$ $\bar E$

Historie

Výše uvedený koncept míry zavedli Peano ( 1887 ) a Jordan ( 1892 ). Následně koncept zobecnil Lebesgue na širší třídu souborů.

Příklad Jordan-neměřitelné množiny

Uvažujme jordánskou míru definovanou dne . Nechť je množina bodů jednotkového segmentu., je podmnožinou racionálních bodů množiny , pak je Jordan-neměřitelná množina, protože , to znamená, že horní a dolní Jordanovy míry se neshodují (ačkoli tato množina je Lebesgueova měřitelné ). $m$ $\mathbb {R}$ $A= \left[0, 1\right] = \{x\in\R\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}$ $\mathbb {Q}$ $A$ $\mathbb {Q}$ $m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q$

Literatura

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D. Sbírka úloh z matematické analýzy, kapitola 3;
Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Turín, 1887;
Jordan, C. Journal de Mathematiques Pures et Appliquées. - 1892. - t. 8.-str. 69-99;

Viz také

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů