Křivka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. května 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Křivka nebo čára je geometrický koncept, který je definován odlišně v různých částech matematiky .

Elementární geometrie

V rámci elementární geometrie nedostává pojem křivky jednoznačnou formulaci. Například v „Prvcích“ Euklida byl definován jako „délka bez šířky“ a někdy byl také definován jako „hranice postavy“.

V základní geometrii je studium křivek v podstatě redukováno na zvažování příkladů ( přímka , segment , lomená čára , kruh atd.). Bez obecných metod pronikla elementární geometrie poměrně hluboko do studia vlastností konkrétních křivek ( kuželosečky , některé algebraické křivky vyššího řádu a některé transcendentální křivky ), přičemž v každém případě použila speciální techniky.

Definice v topologii

Zobrazení čárových segmentů

Nejčastěji je křivka definována jako spojité mapování z úsečky do topologického prostoru :

\gamma \colon [a,b]\to X

V tomto případě mohou být křivky různé, i když jsou jejich obrázky stejné. Takové křivky se nazývají parametrizované křivky nebo, pokud , cesty . $[a,b]=[0,1]$

Vztah ekvivalence

Někdy je křivka definována až do reparametrizace , tedy až do minimálního vztahu ekvivalence , takže parametrické křivky

\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X

\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X

jsou ekvivalentní, pokud existuje spojitá monotónní funkce (někdy neklesající) od segmentu k segmentu , takže $h$ $[a_{1},b_{1}]$ $[a_{2},b_{2}]$

\gamma _{1}\ekviv \gamma _{2}\circ h.

Třídy ekvivalence definované tímto vztahem se nazývají neparametrizované křivky nebo jednoduše křivky .

Komentář

Výše uvedená definice nám do značné míry umožňuje zprostředkovat naši intuitivní představu křivky jako něčeho „nakresleného bez zvednutí tužky“, za předpokladu, že je možné kreslit nekonečně dlouhé úseky. Je třeba poznamenat, že mnoho obrazců, které je obtížné považovat za křivky, lze také „nakreslit bez zvednutí tužky“.

Například je možné zkonstruovat takové souvislé zobrazení segmentu do roviny, že jeho obraz vyplní čtverec (viz Peanova křivka ). Navíc, podle Mazurkiewiczova teorému , každý kompaktní propojený a lokálně spojený topologický prostor je spojitým obrazem segmentu. Tedy nejen čtverec , ale i krychle libovolného počtu rozměrů a dokonce i Hilbertova cihla jsou souvislé obrazy úsečky.

Vzhledem k tomu, že jeden obrázek (obrázek) lze získat různými zobrazeními segmentu (křivek), obecně nelze křivku definovat jako souvislý obrázek segmentu, pokud nejsou na mapování uložena další omezení.

Křivka Jordan

Jordanova křivka nebo jednoduchá křivka je obrazem souvislého injektivního mapování ( vkládání ) kruhu nebo segmentu do prostoru. V případě kruhu se křivka nazývá uzavřená Jordanova křivka a v případě segmentu Jordanův oblouk .

Známá Jordanova věta říká, že každá uzavřená Jordanova křivka v rovině ji rozděluje na „vnitřní“ a „vnější“ část.

Jordanova křivka je poměrně složitý objekt. Například je možné sestrojit rovinnou Jordanovu křivku s nenulovou Lebesgueovou mírou , což provedl Osgood [1] analogicky s Peanovou křivkou .

Definice v analýze

V matematické analýze se často používá definice hladké křivky . Nejprve definujme rovinnou křivku (tj. křivku v ). Nechť a být funkce na intervalu , které jsou na tomto intervalu spojitě derivovatelné a takové, že pro žádné t je rovno nule. Potom mapování definuje křivku, která je hladká; o neparametrizované křivce se říká, že je hladká, pokud takovou parametrizaci připouští. Délku hladké křivky lze vypočítat pomocí vzorce $\mathbb R^2$ $x(t)$ $y(t)$ $[a,b]$ $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ $\gamma :[a,b]\to {\mathbb R}^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$

{\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} }\,dt.

Tuto definici lze zobecnit na zobrazení do jiných prostorů, stejně jako na zobrazení jiné třídy hladkosti, viz níže.

Definice v diferenciální geometrii

Pokud je hladká varieta , lze hladkou křivku definovat jako hladkou mapu, jejíž diferenciál nikde nezmizí. Pokud je třída hladkosti manifoldu , pak je -křivka zavedena jako křivka, pro kterou je časově spojitě diferencovatelná mapa. Jestliže je analytická varieta (například euklidovský prostor ) a je analytická mapa , nazývá se křivka analytická. $X$ $X$ $\gamma \colon [a,b]\to X$ $X$ $k$ $C_{k}$ $\gamma$ $k$ $X$ $\gamma$

Hladké křivky a nazýváme ekvivalentní, pokud existuje difeomorfismus (změna parametru) takový, že . Třídy ekvivalence s ohledem na tento vztah se nazývají neparametrizované hladké křivky. $\gamma _{1}\dvojtečka I\to X$ $\gamma _{2}\dvojtečka J\to X$ $p\dvojtečka I\to J$ $\gamma_1=\gamma_2\circ p$

Algebraické křivky

Algebraické křivky jsou studovány v algebraické geometrii . Rovinná algebraická křivka je množina bodů se souřadnicemi x , y , daná množina řešení rovnice f ( x , y ) = 0, kde f je polynom ve dvou proměnných s koeficienty v poli F . V algebraické geometrii se obvykle berou v úvahu nejen body, jejichž souřadnice patří F , ale také body se souřadnicemi v algebraickém závěru F . Je-li C rovinná algebraická křivka taková, že koeficienty polynomu, který ji definuje, leží v poli F , nazývá se křivka definovaná nad F . Body křivky definované přes F , jejichž všechny souřadnice patří do G , se nazývají racionální přes G (nebo jednoduše G -body). Příklad: křivka x 2 + y 2 + 1 = 0, definovaná přes reálná čísla, má body, ale žádný z nich není skutečným bodem.

Algebraické křivky lze také definovat v prostorech vyšších rozměrů ; jsou definovány jako množina řešení soustavy polynomických rovnic .

Jakákoli rovinná křivka může být dokončena na křivku v projektivní rovině . Pokud je rovinná křivka definována polynomem f ( x , y ) plného stupně d , pak polynom

z^{d}\cdot f(x/z,y/z)

po rozšíření závorek se zjednoduší na homogenní polynom f ( x , y , z ) stupně d . Hodnoty x , y , z takové, že f ( x , y , z ) = 0 jsou homogenní souřadnice dokončení rovinné křivky, zatímco body původní křivky jsou body, pro které se z nerovná nule. Příklad: Fermatova křivka x n + y n = z n v afinní formě se změní na x n + y n = 1. Proces přechodu z afinní křivky na projektivní lze zobecnit do vyšších dimenzí.

Běžnými příklady rovinných křivek jsou kuželosečky (křivky druhého řádu) a eliptické křivky , které mají důležité aplikace v kryptografii . Jako příklady algebraických křivek daných rovnicemi vyšších stupňů lze uvést následující:

Křivky čtvrtého řádu: Bernoulliho lemniskát a Cassiniho ovál .
Křivky šestého řádu: astroid a nefroid .
Křivka definovaná rovnicí libovolného sudého stupně: (multifokální) lemniscate .

Transcendentní křivky

Transcendentální křivky jsou křivky, které nejsou algebraické. Přesněji řečeno, transcendentální křivky jsou křivky, které lze definovat jako linii hladiny analytické , ale nikoli algebraické funkce (nebo v případě vícerozměrných funkcí systému funkcí). Příklady transcendentálních křivek:

Typy křivek

Uzavřená křivka je křivka, jejíž začátek se shoduje s koncem.
Rovinná křivka je křivka, jejíž všechny body leží ve stejné rovině.
Jednoduchá křivka je stejná jako Jordanova křivka.
Cesta je souvislé mapování segmentu do topologického prostoru . $[0,1]$

Typy bodů na křivce

Zobecněné křivky

Obecnější definici křivky pro případ roviny podal Cantor v 70. letech 19. století:

Cantorova křivka je kompaktní spojená podmnožina roviny tak, že její doplněk je všude hustý .

Důležitým příkladem Cantorovy křivky je koberec Sierpinski . Ať je Cantorova křivka jakákoliv , může být vložena do Sierpinského koberce, to znamená, že Sierpinského koberec obsahuje podmnožinu , která je homeomorfní k . Koberec Sierpinski je tedy univerzální plochou Cantorovou křivkou. $L$ $L'$ $L$

Tato definice byla následně zobecněna Urysonem :

Urysohnova křivka je propojený kompaktní topologický prostor topologické dimenze 1. $C$

Koberec Sierpinski tuto definici splňuje, takže jakákoli Cantorova křivka je také Urysohnovou křivkou. Naopak, je-li plochá spojená kompaktní množina Urysohnovou křivkou, pak je to Cantorova křivka.

Viz také

Poznámky

↑ WF Osgood. Jordanova křivka pozitivní oblasti (anglicky) // Trans. Dopoledne. Matematika. Soc.. - 1903. - Sv. 4 . — S. 107–112 .

Literatura

Boltyansky V.G. , Efremovič V.A. Vizuální topologie. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Kurz metrické geometrie. - Moskva, Iževsk: Institut pro počítačový výzkum, 2004. - 496 s. — (Moderní matematika). — ISBN 5-93972-300-4 .
Matematický encyklopedický slovník . M. " Sovětská encyklopedie " , 1988
Curves // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Odkazy

Žíraviny _
Plochy , křivky
speciální rovinné křivky [1] (rus.)

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius