Krychle

Krychle nebo krychle  je rovinná algebraická křivka 3. řádu, tedy množina bodů v rovině ( projektivní nebo afinní ) daná kubickou rovnicí.

což platí pro homogenní souřadnice na projektivní rovině. Pro přechod na afinní verzi stačí dát z = 1 .

Někdy se krychle také nazývá hyperplocha 3. řádu v prostoru libovolné dimenze [1] .

Accent

V matematickém encyklopedickém slovníku je uveden přízvuk „kostka“ [1] . V jiném slovníku - "kubický" [2] . V hovorovém jazyce se používá výslovnost s přízvukem na první slabice: „cube“ [3] [4] [5] [6] [7] .

Klasifikace

První klasifikaci krychle uvedl Newton v roce 1704 [8] .

Newton dokázal, že pro jakoukoli kostku si můžete vybrat souřadnicový systém, ve kterém bude mít jednu z následujících forem:

• ;
• ;
• ;
• .

Dále Newton rozdělil všechny křivky do tříd, rodů a typů, přičemž však vynechal 6 typů . Kompletní klasifikaci uvedl Plücker [9] .

Od roku 2008 nebyla nalezena žádná podobná klasifikace pro křivky n-tého řádu, tento problém představuje Hilbertův 16. problém .

Vlastnosti

• Věta o devíti bodech na krychli (Chalova věta): jsou dány dvě krychle A a B , které mají společných 9 bodů. Pokud třetí kostka C projde 8 z nich, projde devátou.
• Vzali bod A na krychli a nakreslili z něj 2 tečny ke krychli - jedna se dotýká krychle v bodě A , druhá v bodě B. Nechť plochy úseček odříznutých těmito tečnami z grafu krychle jsou rovné X a Y . Potom X = 16 Y [10] .
• Je známo, že některé krychle jsou trisektory, to znamená, že pokud je graf takové krychle nakreslen v rovině a je dán úhel, lze jej rozdělit kružítkem a pravítkem na 3 stejné části. Otevřený problém: je nějaká krychle trisektor?
• Maximální možný počet připojených prvků pro krychlový graf v ℝ² je 4. Například: pro krychli f  ( x , y ) = 3 x  3 − 5 y  2 x − 4 x  2 − 10 yx + 10 y  2 − 6 x + 20 y + 12 graf se skládá ze tří křivek ustupujících do nekonečna a jednoho izolovaného bodu.
• Pokud přímka prochází dvěma inflexními body krychle, prochází také třetím.
• Na krychlích můžete zavést sčítání bodů a jejich násobení číslem, čímž získáte algebraickou strukturu zvanou eliptická křivka [11] [12] .
• Přímka protíná krychli v bodech A , B , C . Tečny obnovené ke krychli v bodech A , B , C protínají krychli podruhé v bodech P , Q , R . Na stejné přímce pak leží i body P , Q , R [13] [14] .

Aplikace

• Krychlové křivky se používají v jazyce PostScript , včetně písem Type 1 ( TrueType používá pouze kvadratické křivky).
• Studium krychle bylo dlouho považováno za příklad čisté matematiky (nemá pro takovou aplikaci a vyhlídky). V posledních 20 letech 20. století však byly vynalezeny kryptografické algoritmy využívající hlubokých vlastností krychle, které se dnes používají (zejména) v bankovním šifrování, což dalo podnět ke studiu vlastností krychle, viz eliptická kryptografie .
• Velké množství pozoruhodných bodů trojúhelníku dává dohromady několik krychlí [15] .
• Frank Morley dokázal slavnou větu pojmenovanou po něm studiem vlastností krychle [16] .

Viz také

• Věta o devíti bodech na krychli
• Kostky spojené s trojúhelníkem
• Eliptická křivka
• Klasifikace Newtonovy kostky
• Afinní klasifikace krychle
• Izometrická ekvivalence
• Afinní ekvivalence

Poznámky

1. ↑ 1 2 Matematický encyklopedický slovník / Ch. vyd. Yu V. Prochorov. - M .: Sovětská encyklopedie, 1988. - S.  304,55 . — 845 s.
2. ↑ Rusko-portugalský a portugalsko-ruský slovník fyziky a matematiky / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, str. 131
3. ↑ A. N. Parshin. Teorie skupinové reprezentace a algebraická geometrie na YouTube od 1:04:26
4. ↑ S. S. Galkin. Algebraické plochy. Přednáška 3. na YouTube , začíná v 1:13:16
5. ↑ G. B. Šabat. kolem Ponceleta. Přednáška 4 Archivována 6. dubna 2016 na Wayback Machine . Videotéka All-Russian Mathematical Portal (ve 20 min 18 s)
6. ↑ S. M. Lvovsky Dvacet sedm řádků. Session 3 Archived 6. dubna 2016 na Wayback Machine . Videotéka All-Russian Mathematical Portal (v 36 min 15 s)
7. ↑ S. A. Loktev. Teorie skupinové reprezentace a algebraická geometrie na YouTube od 54:24
8. ↑ "Enumeratio linearum tertii ordinis" (existuje ruský překlad "Výčet křivek třetího řádu" v knize D. D. Mordukhai-Boltovského "Isaac Newton. Mathematical Works", str. 194-209, dostupné na on-line stránce podle stránky na adreseアーカイブされたコピーStaženo 8. února 2016. Archivováno z originálu 12. června 2008 (neurčitý) .
9. ↑ Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Příručka o teorii rovinných křivek třetího řádu. — M .: Fizmatgiz , 1961.
10. ↑ Honsberger R. Další matematická sousta // Math. Doc. amer. — Washington, DC, 1991. — s. 114-118.
11. ↑ Ostrik V. V., Tsfasman M. A. Algebraická geometrie a teorie čísel: racionální a eliptické křivky . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 s. - (Knihovna "Matematická výchova"). — ISBN 5-900916-71-5 .
12. ↑ Solovyov Yu. P. Racionální body na eliptických křivkách  // Soros Educational Journal . - 1997. - č. 10 . - S. 138-143 .
13. ↑ Cubic Curve and an Associated Structure od D.S. Macnaba, The Mathematical Gazette Vol. 50, č. 372 (květen 1966), str. 105-110 Publikováno: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Počet stran: 6 Archivováno 7. února 2016 na Wayback Machine .
14. ↑ Viz také Weisstein, Eric W. Cubic [4],3][,(downlink)[2],downlink)([1].,MathWorldat WolframCurve  Wayback Machine , [5] , [6] , [ 7] (nedostupný odkaz) , [8] , [9] .    
15. ↑ Viz [10] Archivováno 5. září 2008 na Wayback Machine a [11] .
16. ↑ Viz jeho práci [12] Archivováno 25. listopadu 2008 na Wayback Machine .

Odkazy

• Knihovny pro interaktivní kreslení krychle (bez izolovaných bodů) ve Flashi a Javě .