Vnější opatření

Vnější míra je jedním ze zobecnění pojmů délka, plocha a objem; je funkce skutečné hodnoty definovaná pro všechny podmnožiny prostoru, která splňuje několik dalších specifikací.

Historie

Obecnou teorii vnější míry vyvinul Constantine Carathéodory , aby poskytla základ pro teorii měřitelných množin a spočítatelně aditivních mír. Carathéodoryho práce na vnější míře našla mnoho aplikací v teorii měřitelných množin (například vnější míra se používá v důkazu Carathéodoryho základní věty o rozšíření) a byla použita Hausdorffem k definování metrického invariantu, který zobecňuje dimenzi, nyní nazývaná Hausdorffova dimenze .

Velikost písmen číselné řady

Pro libovolnou podmnožinu reálné čáry lze najít libovolně mnoho různých systémů skládajících se z konečného nebo spočetného počtu intervalů, jejichž sjednocení obsahuje množinu . Takové systémy nazýváme nátěry. Vzhledem k tomu, že součet délek intervalů, které tvoří jakékoli krytí, je nezáporný, je ohraničen níže, a proto má množina délek všech krytí přesnou spodní hranici. Tato tvář, v závislosti pouze na sadě , se nazývá vnější míra : $E$ $E$ $E$

{\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\))

Možnosti určení vnějšího opatření:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Formální definice

Nechť je pevná množina . Vnější míra je funkce taková, že $X$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

$\mu ^{*}(\varnothing )=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\ dvojtečka \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$ .

Dovolit být míra definovaná na prstenu . Vnější míra generovaná mírou je funkce taková, že $\mu$ $K$ $\mu$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \)),\ ;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ pokud existuje alespoň jeden takový kryt soupravy ; $A$
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ v opačném případě.

Věta . Vnější takt generovaný taktem je vnější takt. $\mu ^{*}$ $\mu$

$\vartriangleright$ Podívejme se na první bod z definice vnější míry. . definováno na . $\mu \geqslant 0\Rightarrow \mu ^{*}\geqslant 0$ $\mu ^{*}$ $2^{{X}}$

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{* }(\varnothing )=0

Podívejme se na druhý bod definice. Nechte _ Pokud je z krytu taková sada, že , tak nerovnost drží. Nechť dále všechny množiny z pokrytí jsou takové, že . Vezměte libovolný , podle definice přesné dolní hranice ${\displaystyle A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ $A_{{n}}$ $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty } B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)))-{\frac {\varepsilon }{2^{n))))

Pak

\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

Protože je počitatelné spojení prvků prstenu , pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))$ $K$

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)) )<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n))}{\ bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

\vartriangleleft

Vlastnosti vnějšího rozměru

Vlastnosti vnějšího měření : $\mu ^{*}$

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k= 1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

$\vartriangleright$ Opravdu,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})

\vartriangleleft

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ ( monotónnost ).

$\vartriangleright$ Navazuje na předchozí nemovitost na adrese . $n=1$ $\vartriangleleft$

𝜇*-měřitelné sady

Dovolit být nějaké vnější opatření definované na podmnožiny souboru . Potom nastaví tak, aby pro všechny platila rovnost $\mu ^{*}$ $X$ $E\podmnožina X$ $A\podmnožina X$

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap {\overline {E)))

se nazývají měřitelné. -měřitelné množiny tvoří σ-kruh a funkce definovaná na prvcích tohoto σ-kruhu je mírou generovanou . Pokud je vnější míra generována nějakou mírou definovanou na kruhu , pak bude rozšířením míry (kde je míra definovaná výše, generovaná pomocí ). $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$ $K$ ${\overline {\mu ))$ $\mu$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}$

Je - li definováno nějakým vnějším opatřením generovaným opatřením , pak tehdy a pouze tehdy , je - li samotné vnější opatření generováno nějakým opatřením . ${\overline {\mu }}^{*}$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$

Viz také

Literatura

Dorogovtsev A.Ya. Základy obecné teorie míry a integrálu. Kyjev, 1989
Khalmosh P.R. teorie míry. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953