Vnější míra je jedním ze zobecnění pojmů délka, plocha a objem; je funkce skutečné hodnoty definovaná pro všechny podmnožiny prostoru, která splňuje několik dalších specifikací.
Obecnou teorii vnější míry vyvinul Constantine Carathéodory , aby poskytla základ pro teorii měřitelných množin a spočítatelně aditivních mír. Carathéodoryho práce na vnější míře našla mnoho aplikací v teorii měřitelných množin (například vnější míra se používá v důkazu Carathéodoryho základní věty o rozšíření) a byla použita Hausdorffem k definování metrického invariantu, který zobecňuje dimenzi, nyní nazývaná Hausdorffova dimenze .
Pro libovolnou podmnožinu reálné čáry lze najít libovolně mnoho různých systémů skládajících se z konečného nebo spočetného počtu intervalů, jejichž sjednocení obsahuje množinu . Takové systémy nazýváme nátěry. Vzhledem k tomu, že součet délek intervalů, které tvoří jakékoli krytí, je nezáporný, je ohraničen níže, a proto má množina délek všech krytí přesnou spodní hranici. Tato tvář, v závislosti pouze na sadě , se nazývá vnější míra :
Možnosti určení vnějšího opatření:
Nechť je pevná množina . Vnější míra je funkce taková, že
Dovolit být míra definovaná na prstenu . Vnější míra generovaná mírou je funkce taková, že
Věta . Vnější takt generovaný taktem je vnější takt.
Podívejme se na první bod z definice vnější míry. . definováno na .
.Podívejme se na druhý bod definice. Nechte _ Pokud je z krytu taková sada, že , tak nerovnost drží. Nechť dále všechny množiny z pokrytí jsou takové, že . Vezměte libovolný , podle definice přesné dolní hranice
.Pak
.Protože je počitatelné spojení prvků prstenu , pak
.Vlastnosti vnějšího měření :
Opravdu,
.Navazuje na předchozí nemovitost na adrese .
Dovolit být nějaké vnější opatření definované na podmnožiny souboru . Potom nastaví tak, aby pro všechny platila rovnost
se nazývají měřitelné. -měřitelné množiny tvoří σ-kruh a funkce definovaná na prvcích tohoto σ-kruhu je mírou generovanou . Pokud je vnější míra generována nějakou mírou definovanou na kruhu , pak bude rozšířením míry (kde je míra definovaná výše, generovaná pomocí ).
Je - li definováno nějakým vnějším opatřením generovaným opatřením , pak tehdy a pouze tehdy , je - li samotné vnější opatření generováno nějakým opatřením .