Carathéodoryho věta o rozšíření míry

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. října 2017; kontroly vyžadují 3 úpravy .

V teorii míry , Carathéodoryho teorém říká, že libovolná countably aditivní míra na nějakém kruhu podmnožin souboru může být rozšířena k?-prsten vytvořený prstenem . V případě σ-konečnosti míry je takové rozšíření jedinečné. Zejména existence a jednoznačnost Borelovy míry a Lebesgueovy míry vyplývá z věty . $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mathcal{R}$

Prohlášení

Dovolit být prsten podmnožin souboru s mírou , A být σ-kruh vytvořený . Carathéodoryho teorém říká, že existuje míra , která je rozšířením míry , tedy . Navíc, pokud je míra σ-konečná, pak je takové rozšíření jedinečné a také σ-konečné. $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mu :{\mathcal {R}}\to [0,+\infty ]$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ $\mathcal{R}$ $\mu ':\sigma ({\mathcal {R)))\to [0,+\infty ]$ $\mu$ $\mu '|_{\mathcal {R}}=\mu$ $\mu$ $\mu'$

Půlkruh

Obecněji řečeno, takové rozšíření existuje pro míru definovanou na semiring , tedy pro rodinu podmnožin , které splňují následující podmínky: $S$

$\varnothing \in S$ ;
pro jakoukoli křižovatku ; $A,B\in S$ $A\cap B\in S$
pro všechny existují takové párové disjunktní množiny , kde , co . $A,B\in S$ $K_{i}\in S$ $i=1,2,\ldots ,n$ $A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i))$

Tento případ lze však snadno zredukovat na předchozí, protože každý semiring generuje prstenec, jehož prvky jsou všechny možné konečné disjunktní svazky množin z : $S$ $R(S)$ $S$

{\displaystyle R(S)=\{A:A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i)),A_{i}\in S\))

a míra uvedená na semiringu se vztahuje na celý prsten: $\mu$

{\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i)))))

, kde , .

A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i))

A_{i}\in S

Budování pokračování

Dovolit být míra definovaná na kruhu podmnožin souboru . Pak na podmnožinách lze definovat funkci $\mu$ $\mathcal{R}$ $\Omega$ $A\subset \Omega$

\mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R)),\,A\podmnožina \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}.

Tato funkce je vnější míra generovaná mírou . Označme rodinu podmnožin množiny tak, že pro všechny . $\mu$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $A$ $\Omega$ $E\subset \Omega$ $\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)$

Pak je σ-prsten a je možné na něm definovat míru pro všechny . Funkce definovaná tímto způsobem je míra, která se shoduje s na množinách prstenu . Obsahuje také σ-algebru a omezení na prvky a bude nezbytným rozšířením míry. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ ${\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)$ $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ $\mu$ $\mathcal{R}$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ ${\overline {\mu ))$ $\sigma ({\mathcal {R}})$

σ-prsten je dokončením kruhu , respektive shodují se, pokud je určitá míra dokončena. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $\sigma ({\mathcal {R}})$ $\sigma ({\mathcal {R}})$

Příklady

Jestliže na reálné čáře vezmeme půlení intervalů , kde a míra je rovna , pak prezentovaná konstrukce dává definici Borelovy míry na borelských množinách . Množina zde odpovídá množině Lebesgueových měřitelných množin. $\mathcal{S}$ $[a,b]$ $a<b$ $[a,b]$ $ba$ $\sigma ({\mathcal {S}})$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$
Podmínka σ-konečnosti je nezbytná pro jednoznačnost pokračování. Například na množině všech racionálních čísel v intervalu lze definovat semiring intervalů s racionálními konci , kde jsou racionální čísla z intervalu . σ-prsten generovaný tímto semiringem je množinou všech podmnožin . Nyní , nastavení , rovno počtu prvků a , máme, že obě míry se shodují na semiringu a generovaném prstenci (protože všechny neprázdné sady semiringu a prstenu jsou nekonečné, pak jsou obě míry stejné na všech těchto sady ), ale neshodují se na generovaném σ-kruhu. To znamená, že v tomto případě není pokračování jedinečné. $X$ $[0,1]$ $[a, b)$ $a<b$ $[0,1]$ $X$ $\mu (A)$ $A$ $\mu '(A)=2\mu (A)$ $\infty$

Literatura

Khalmosh P. R. Teorie měření. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953
Dorogovtsev A. Ya. Prvky obecné teorie míry a integrálu. Kyjev, 1989