Parametrově závislý integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. listopadu 2014; kontroly vyžadují 5 úprav .

Integrál závislý na parametru je matematický výraz , který obsahuje určitý integrál a závisí na jedné nebo více proměnných ("parametrech").

Vlastní integrál závislý na parametrech

Nechť je dán obor ve dvourozměrném euklidovském prostoru , na kterém je definována funkce dvou proměnných. $\overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}$ $f(x,y)$

Nechte dále ,. $\forall y\in \left[c;d\right]\, \existuje I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$

Funkce a se nazývá integrál v závislosti na parametru. $I(y)$

Vlastnosti integrálu v závislosti na parametru

Spojitost

Nechť je funkce spojitá v definičním oboru jako funkce dvou proměnných. Potom je funkce spojitá na segmentu . $f(x,y)$ $\overline{G}$ $I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\, dx$ $[c;d]$

Důkaz

Zvažte přírůstek integrálu v závislosti na parametru. $\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^bf\left(x,y+\Delta y\right) \,dx-\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

Podle Cantorovy věty je funkce spojitá na kompaktní množině na ní rovnoměrně spojitá , tzn. $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Proto pro , což znamená spojitost funkce $\Delta I(y) < \epsilon(ba)$ $\Delta y < \delta$

Diferenciace pod znaménkem integrálu

Nechť je nyní nejen funkce spojitá na definičním oboru , ale i její parciální derivace . $\overline{G}$ $f(x,y)$ $\frac {\částečné f} {\částečné y} \left (x,y\right )$

Potom , nebo, což je totéž, $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\částečné f} {\částečné y} \left(x,y\vpravo) \, dx$ $\frac {d} {dy} \int\limits_a^bf(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\částečné f} {\částečné y} \left(x,y\vpravo) \, dx$

Důkaz

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\částečné f} {\částečné y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\částečné f} {\částečné y} (x,y+ \Theta \Delta y)dx$ $( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Tyto transformace byly provedeny pomocí Lagrangeovy střední věty . Zvažte nyní výraz . $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\ limity_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x, y\vpravo) \vpravo) \, dx$

Opět použijeme Cantorovu větu , ale pro funkci dostaneme, že pro , což dokazuje tuto větu $\frac {\částečné f} {\částečné y}$ $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\částečné f} {\částečné y} \left(x,y\vpravo) \, dx = o(1 )$ $\Delta(y) \na 0$