Jednotná kontinuita

Rovnoměrná spojitost je vlastnost funkce být stejně spojitá ve všech bodech v oboru definice. V matematické analýze je tento pojem zaveden pro numerické funkce , ve funkcionální analýze je zobecněn na libovolné metrické prostory .

Koncept spojitosti jasně znamená, že malé změny v argumentu vedou k malým změnám v hodnotě funkce. Vlastnost jednotné spojitosti klade další podmínku: hodnota, která omezuje odchylku hodnoty argumentu, musí záviset pouze na hodnotě odchylky funkce, nikoli však na hodnotě argumentu, to znamená, že musí být vhodné pro celou doménu funkce.

Jednotná spojitost numerických funkcí

Definice

Numerická funkce reálné proměnné je rovnoměrně spojitá, pokud [1] : $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\bigl (} |x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Šipka doprava {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr ) },

kde jsou kvantifikátory univerzálnosti a existence a je implikace . $\forall ,\exists$ $\Šipka doprava$

Poznámky

Je důležité, aby výběr závisel pouze na velikosti a byl vhodný pro jakoukoli - to odlišuje stejnoměrnou návaznost od běžné návaznosti. $\delta$ $\varepsilon$ $x_{1},x_{2}$

Výše uvedená definice se dá snadno zobecnit na případ funkcí více proměnných [2] .

Příklady

Funkce

f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)

je spojitý přes celou doménu definice, ale není rovnoměrně souvislý, protože pro jakýkoli (libovolně malý) lze zadat takový segment hodnot argumentu , že na jeho koncích se budou hodnoty funkce lišit více Je to způsobeno tím, že sklon grafu funkce kolem nuly donekonečna roste. $\varepsilon >0$ $X$ $\varepsilon.$

Další příklad: funkce

f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )

je spojitý podél celé číselné osy, ale není rovnoměrně souvislý, protože

\lim _{x\to \infty }{\Big (}f{\big (}x+{\frac {a}{x}}{\big )}-f(x){\Big )} =\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.

Vždy je možné zvolit hodnotu pro libovolný segment libovolně malé délky — tak, že rozdíl hodnot funkce na koncích segmentu bude větší . Zejména na segmentu bude rozdíl hodnot funkce má tendenci $\varepsilon >0$ $\varepsilon /x$ $f(x)=x^{2}$ $\varepsilon.$ $\left[x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right]$ $2\varepsilon .$

Vlastnosti

Z definice bezprostředně vyplývají tři vlastnosti:

Funkce rovnoměrně spojitá na množině je na ní spojitá . $M$
- Opak je pravdou, pokud je
kompaktní . $M$

Funkce rovnoměrně spojitá na množině bude rovnoměrně spojitá na jakékoli její podmnožině.

Funkce, která je rovnoměrně spojitá na omezeném intervalu, je vždy omezena na tento interval [3] . Na nekonečném intervalu nemusí být rovnoměrně spojitá funkce omezená (například na intervalu ).

\ln x

x\in (1;+\infty )

Některá kritéria pro jednotnou spojitost funkce

Věta o jednotné spojitosti ( Cantor - Heine ): funkce, která je spojitá na uzavřeném konečném intervalu (nebo na libovolné kompaktní množině), je na něm rovnoměrně spojitá. Navíc, pokud je uzavřený konečný interval nahrazen otevřeným , funkce nemusí být rovnoměrně spojitá.
Součet, rozdíl a složení rovnoměrně spojitých funkcí jsou rovnoměrně spojité [4] . Součin rovnoměrně spojitých funkcí však nemusí být rovnoměrně spojitý. Například [5] , nechť Obě funkce jsou rovnoměrně spojité v , ale jejich součin není rovnoměrně spojitý v . Pro ohraničený interval je součin rovnoměrně spojitých funkcí vždy rovnoměrně spojitý [3] . $f(x)=x;\g(x)=\ln(x).$ $x\geqslant 1$ $[1,+\infty )$
Jestliže je funkce definována a spojitá na a existuje konečná limita , pak je funkce rovnoměrně spojitá na . Jinými slovy, funkce definovaná na nekonečném půlintervalu nemusí být rovnoměrně spojitá pouze tehdy, pokud její limita v nekonečnu neexistuje nebo je nekonečná [6] . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)$ $[a,+\infty)$
Omezená monotónní funkce spojitá na intervalu (nebo na celé reálné přímce) je na tomto intervalu rovnoměrně spojitá [7] .
Funkce, která je spojitá na celé číselné ose a periodická , je rovnoměrně spojitá na celé číselné ose [8] .
Funkce, která má na intervalu omezenou derivaci , je na tomto intervalu rovnoměrně spojitá [9] .