Ekvidistantní kontinuita

Ekvidistantní spojitost je vlastnost rodiny spojitých funkcí , která spočívá v tom, že se celá rodina funkcí nějakým řízeným způsobem mění. Používá se k výběru rovnoměrně konvergentní posloupnosti z určité rodiny funkcí: Arzela-Ascoliho věta to umožňuje pro ekvikontinuální a rovnoměrně ohraničenou rodinu například na kompaktním metrickém prostoru.

Definice

Přesná definice ekvikontinuity závisí na kontextu. V nejjednodušší verzi nechť je rodina spojitých funkcí s reálnou hodnotou na intervalu , a buďme nějakou její podrodinou. Tato podrodina se nazývá ekvikontinuální , pokud pro jakoukoli existuje taková , že pro jakoukoli funkci a jakýkoli bod podmínka vyplývá z podmínky . Jak vidíte, podmínka ekvikontinuity rodiny funkcí se liší od podmínky stejnoměrné spojitosti všech funkcí odděleně přenosem fragmentu „for any “ pod dvojici kvantifikátorů pro epsilon a delta. $C(a,b)$ $[a,b]$ $D\subset C(a,b)$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in D$ $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $f\in D$

Tuto definici lze doslovně zobecnit na případ kompaktních metrických prostorů a podrodinu rodiny spojitých zobrazení od do : podrodina se nazývá ekvikontinuální , pokud pro jakékoli existuje takové , že pro jakoukoli funkci a jakýkoli bod podmínka vyplývá z podmínky. . $X$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $X$ $Y$ $D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in D$ $x_1, x_2\v X$ $d_{X}(x_{1},\;x_{2})<\delta$ $d_{Y}(f(x_{1}),\;f(x_{2}))<\varepsilon$

Nahrazením - -formalismu formalismem otevřených podmnožin se získá obecnější definice pro topologické prostory a podrodinu rodiny spojitých zobrazení od do : podrodina se nazývá ekvikontinuální v bodě a bod , pokud pro jakékoli okolí . existuje takové okolí , na které se jakákoli funkce mapuje . Zobrazení se nazývá ekvikontinuální, pokud je výše uvedená podmínka splněna pro všechny páry . Jestliže a jsou topologické vektorové prostory a zobrazení mezi nimi jsou nejen spojitá, ale i lineární, pak stačí tuto podmínku zkontrolovat na dvojici bodů . $\varepsilon$ $\delta$ $X$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $X$ $Y$ $D$ $x\in X$ $y\v Y$ $W\ni y$ $V\ni x$ $f\in D$ $PROTI$ $W$ $(x,y)\in X\times Y$ $X$ $Y$ $(0_{X},0_{Y})$

Artzelova–Ascoliho věta

Arzela-Ascoliho věta říká, že pro kompaktní metrické prostory je ekvikontinuita ekvivalentní relativní kompaktnosti , vybavené metrikou $D$ $D$ $\podmnožina$ $C(X,\;Y)$

\rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x))

Literatura

Kolmogorov A. N., Fomin S. V., Prvky teorie funkcí a funkcionální analýza, 5. vyd., M., 1981;
Edwards R., Funkční analýza, přel. z angličtiny, IT., 1969.