Matematický vzorec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. června 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Matematický vzorec (z lat.  vzorec  - zdrobnělina od forma - obraz, vzhled) v matematice , fyzice a dalších přírodních vědách - symbolický záznam výroku (který vyjadřuje logický výrok [1] ), nebo forma prohlášení [2] . Vzorec spolu s termíny je druh formalizovaného jazykového výrazu. V širším smyslu je vzorec jakýkoli čistě symbolický zápis (viz níže ), v matematice na rozdíl od různých výrazových způsobů, které mají geometrický význam: kresby, grafy , tabulky , grafy atd.

Základní typy (numerických) vzorců

Vzorec zpravidla obsahuje proměnné (jednu nebo více) a vzorec sám o sobě není jen výraz, ale určitý druh úsudku . Takový úsudek může uvádět něco o proměnných nebo může říkat něco o příslušných operacích. Přesný význam vzorce je často implikován z kontextu a nelze ho pochopit přímo z jeho formy. Existují tři běžné případy:

Rovnice

Rovnice je vzorec, jehož vnější (horní) článek je binární relací rovnosti . Důležitým rysem rovnice je však také to, že symboly v ní obsažené jsou rozděleny na proměnné a parametry (přítomnost těch druhých však není nutná). Například je rovnice, kde x  je proměnná. Hodnoty proměnné, pro kterou platí rovnost, se nazývají kořeny rovnice : v tomto případě jsou to dvě čísla 1 a -1 . Zpravidla platí, že pokud rovnice pro jednu proměnnou není shodná (viz níže), pak jsou kořeny rovnice diskrétní, nejčastěji konečnou (případně prázdnou ) množinou.

Pokud rovnice obsahuje parametry, pak jejím smyslem je najít kořeny pro dané parametry (tedy hodnotu proměnné, pro kterou platí rovnost). Někdy to lze formulovat jako zjištění implicitní závislosti proměnné na parametru (parametrech). Například , je chápáno jako rovnice pro x (toto je obvyklé písmeno pro proměnnou spolu s y , z a t ). Kořeny rovnice jsou druhou odmocninou z a (předpokládá se, že jsou dva, s různými znaménky). Takový vzorec sám o sobě pouze definuje binární vztah mezi x a a a lze jej chápat obráceně jako rovnici na a vzhledem k x . V tomto elementárním případě můžeme spíše mluvit o definování a až x : .

Totožnosti

Identita je návrh, který platí pro všechny hodnoty proměnných. Obvykle identita znamená identicky skutečnou rovnost, i když mimo identitu může existovat nerovnost nebo nějaký jiný vztah. V mnoha případech lze identitu chápat jako nějakou vlastnost operací v ní používaných , například identita prosazuje komutativnost sčítání.

Pomocí matematického vzorce lze psát poměrně složité věty v kompaktní a pohodlné formě. Vzorce, které se stanou pravdivými při jakékoli náhradě proměnných konkrétními objekty z nějaké oblasti, se v této oblasti nazývají shodně pravdivé. Například: "pro libovolné a a b platí rovnost ". Tuto identitu lze odvodit z axiomů sčítání a násobení v komutativním kruhu , které samy o sobě mají také podobu identit.

Identita nemusí zahrnovat proměnné a být aritmetická (nebo nějaká jiná) rovnost, jako je .

Přibližné rovnosti

Například:  — přibližná rovnost pro malé ;

Nerovnosti

Vzorec nerovnosti lze chápat v obou významech popsaných na začátku oddílu: jako identitu (například Cauchyho-Bunyakovského nerovnost ) nebo jako rovnici jako problém hledání množiny (přesněji podmnožiny doména), do které může proměnná patřit, nebo proměnné .

Použité operace

Tato část bude obsahovat seznam operací používaných v algebře , stejně jako některé běžně používané funkce z kalkulu .

Sčítání a odčítání

Používají se znaménka " + " a " - " (druhé v písmu je poněkud slabě rozlišitelné od pomlčky ). Unární mínus se častěji používá pouze pro první (levý) člen, protože ostatní případy, jako „ a  + (− b )“ a „ a  − (−b)“, se významem neliší od jednoduššího „ a “.  −  b “ a „ a  +  b “.

Vzhledem k asociativitě sčítání nedává umístění závorek pro určení pořadí, ve kterém se sčítání provádí, matematický smysl. V algebře se termíny vztahují k argumentům sčítání i odčítání. Pořadí odčítání je při absenci závorek takové, že se odečte pouze výraz zapsaný bezprostředně napravo od znaménka odčítání, a nikoli výsledek provádění jakýchkoli operací sčítání a odčítání zapsaných vpravo. Se znaménkem mínus jsou tedy do součtu zahrnuty pouze ty "termíny", od nichž je hned vlevo znaménko "−".

Násobení

Nejčastěji se vynechává znaménko násobení. To nezpůsobuje nejednoznačnost, protože proměnné se obvykle označují jedním písmenem a nemá smysl vypisovat násobení konstant zapsaných čísly navzájem. Ve vzácných případech, kdy se nelze vyhnout nejednoznačnosti, je násobení označeno svisle uprostřed tečkovaným symbolem „·“. Symbol "×" se používá pouze ve školní aritmetice, v odborných textech (ve zvláštním kontextu) a některé systémy jej vkládají místo znaménka násobení při převodu vzorce na jiný řádek (obvykle se vyhýbá převodu znaménkem násobení) .

Divize

Dělení ve vzorcích se zapisuje zlomkovou čárkou. Ve školní aritmetice se také používá "÷" ( obelus ).

Umocňování

Elementární funkce

Absolutní hodnota, znaménko atd.

Priorita operátorů a závorky

Priorita, pořadí nebo seniorita operace nebo operátoru je formální vlastností operátora/operace, která ovlivňuje pořadí jejího provedení ve výrazu s několika různými operátory, pokud chybí výslovné (pomocí závorek) označení pořadí, ve kterém jsou hodnoceny. Například operace násobení má obvykle vyšší prioritu než operace sčítání, takže ve výrazu bude nejprve získán součin yaz a poté součet.

Příklady

Například:

 - příklad vzorce, který má hodnotu "false";

 je funkcí jednoho reálného argumentu;

 - funkce několika argumentů (graf jedné z nejpozoruhodnějších křivek - Agnesi verzier );

 je nediferencovatelná funkce v bodě (souvislá přerušovaná čára nemá tečnu);

 - rovnice, tj. implicitní funkce (graf křivky " karteziánského seznamu " );

 je celočíselná funkce;

 je sudá funkce ;

 je lichá funkce ;

 je funkce bodu, vzdálenost od bodu k počátku (kartézských) souřadnic;

 je nespojitá funkce v bodě ;

 je parametricky definovaná funkce ( zákres cykloidy );

 — přímé a inverzní funkce;

 je integrální rovnice.

Ve filatelii

Matematické vzorce jsou často vyobrazeny na poštovních známkách z různých zemí, například na známkách věnovaných slavným vědcům, které představují vzory, které objevili. Pozoruhodná je série poštovních známek věnovaných samotným matematickým vzorcům. Jedná se o nikaragujské poštovní vydání z roku 1971 , sérii 10 poštovních známek s názvem Las 10 formulas matematicas que cambiaron la faz de la Tierra . Představují Pythagorovu větu , Archimédův zákon , Newtonův zákon , Ciolkovského vzorec , de Broglieho vzorec , Einsteinův vzorec atd. Na zadní straně každého razítka je popis odpovídajícího vzorce  ( Sc #877-881 ,C761-C765) .  

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Chupakhin, Brodsky, 1977 , s. 200
  2. ↑ Kolmogorov, Dragilin, 2006 , s. 13-15.

Literatura

Odkazy