Stejně jako u křivočarých integrálů existují dva druhy plošných integrálů.
Nechť je hladký, ohraničený kompletní povrch . Nechť je dále dána funkce . Uvažujme rozdělení této plochy na části po částech hladkými křivkami a na každé takové části vyberte libovolný bod . Po výpočtu hodnoty funkce v tomto bodě a za povrchovou plochu zvažte součet
Potom se číslu říká limit součtů , jestliže
Limita součtů na se nazývá plošný integrál prvního druhu funkce nad plochou a označuje se takto:
Nechť je možné zavést jednotnou parametrizaci na plochu pomocí funkcí
daný v ohraničené uzavřené oblasti roviny a patřící do třídy v této oblasti. Je-li funkce spojitá na povrchu , potom povrchový integrál prvního druhu této funkce na povrchu existuje a lze jej vypočítat podle vzorce
kde:
Z definice plošného integrálu prvního druhu vyplývá, že tento integrál je nezávislý na volbě orientace vektorového pole jednotkových normál k ploše nebo, jak se říká, na volbě strany plochy. Nechte funkce a být integrovatelné přes domény . Pak:
Zvažte oboustranný povrch , hladký nebo hladký, a připevněte jednu z jeho dvou stran, což je ekvivalentní výběru určité orientace na povrchu.
Pro jednoznačnost nejprve předpokládáme, že povrch je dán explicitní rovnicí a bod se mění v oblasti v rovině ohraničené po částech hladkým obrysem.
Nechť je nyní v bodech dané plochy definována nějaká funkce . Po rozdělení povrchu sítí po částech hladkých křivek na části a výběru bodu na každé takové části vypočítáme hodnotu funkce v daném bodě a vynásobíme ji plochou průmětu do roviny prvku , vybavený určitým znakem. Udělejme integrální součet
Konečná mez tohoto integrálního součtu, protože průměry všech částí mají tendenci k nule, se nazývá plošný integrál druhého druhu
prodloužena na vybranou stranu povrchu a označena symbolem
(zde připomíná oblast průmětu plošného prvku na rovinu ).
Pokud místo roviny promítneme plošné prvky na rovinu nebo , získáme další dva plošné integrály druhého typu:
neboV aplikacích jsou nejběžnější kombinace integrálů všech těchto typů:
kde jsou funkce , definované v bodech povrchu .
kde je jednotkový normálový vektor povrchu , je ort.
Slovníky a encyklopedie | |
---|---|
V bibliografických katalozích |
Integrální počet | ||
---|---|---|
Hlavní | ||
Zobecnění Riemannova integrálu | ||
Integrální transformace |
| |
Numerická integrace | ||
teorie míry | ||
související témata | ||
Seznamy integrálů |