Plošné integrály

Stejně jako u křivočarých integrálů existují dva druhy plošných integrálů.

Plošný integrál prvního druhu

Definice

Nechť je hladký, ohraničený kompletní povrch . Nechť je dále dána funkce . Uvažujme rozdělení této plochy na části po částech hladkými křivkami a na každé takové části vyberte libovolný bod . Po výpočtu hodnoty funkce v tomto bodě a za povrchovou plochu zvažte součet $\Phi$ $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $T$ $\Phi _{i}\ (i=1,\tečky ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\sigma_i$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.

Potom se číslu říká limit součtů , jestliže $já$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .

Limita součtů na se nazývá plošný integrál prvního druhu funkce nad plochou a označuje se takto: $já$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$ $d(T)\to 0$ $f(M)$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .

Parametrický tvar

Nechť je možné zavést jednotnou parametrizaci na plochu pomocí funkcí $\Phi$

x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),

daný v ohraničené uzavřené oblasti roviny a patřící do třídy v této oblasti. Je-li funkce spojitá na povrchu , potom povrchový integrál prvního druhu této funkce na povrchu existuje a lze jej vypočítat podle vzorce $\Omega$ $(u,v)$ $C^1$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u, v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,

kde:

E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},

F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',

G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.

Vlastnosti

Z definice plošného integrálu prvního druhu vyplývá, že tento integrál je nezávislý na volbě orientace vektorového pole jednotkových normál k ploše nebo, jak se říká, na volbě strany plochy. Nechte funkce a být integrovatelné přes domény . Pak: $F$ $G$ $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}$

Linearita: pro jakákoli reálná čísla . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$ $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$
Aditivita : za předpokladu, že a nemají žádné společné vnitřní body . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\ Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$
Monotónnost :
- jestliže , pak ; $f\geqslant g$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$
- pro , jestliže , pak . $f \geqslant 0$ ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi _{2))$ $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma$
Věta o střední hodnotě pro spojitou funkci a uzavřenou ohraničenou plochu : $F$ $\Phi$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )$ , kde a je oblast regionu . $\xi \in \Phi$ $\mu (\Phi)$ $\Phi$

Plošný integrál druhého druhu

Definice

Zvažte oboustranný povrch , hladký nebo hladký, a připevněte jednu z jeho dvou stran, což je ekvivalentní výběru určité orientace na povrchu. $\Phi$

Pro jednoznačnost nejprve předpokládáme, že povrch je dán explicitní rovnicí a bod se mění v oblasti v rovině ohraničené po částech hladkým obrysem. $z=z(x,y)$ $(x, y)$ $(D)$ $xy$

Nechť je nyní v bodech dané plochy definována nějaká funkce . Po rozdělení povrchu sítí po částech hladkých křivek na části a výběru bodu na každé takové části vypočítáme hodnotu funkce v daném bodě a vynásobíme ji plochou průmětu do roviny prvku , vybavený určitým znakem. Udělejme integrální součet $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi _{i}\ (i=1,\tečky ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $D_{i}$ $xy$ ${\displaystyle \Phi _{i))$

\sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i} ,z_{i})D_{i}.

Konečná mez tohoto integrálního součtu, protože průměry všech částí mají tendenci k nule, se nazývá plošný integrál druhého druhu

f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,

prodloužena na vybranou stranu povrchu a označena symbolem $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy

(zde připomíná oblast průmětu plošného prvku na rovinu ). $dx\,dy$ $xy$

Pokud místo roviny promítneme plošné prvky na rovinu nebo , získáme další dva plošné integrály druhého typu: $xy$ $yz$ $zx$

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz

nebo

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.

V aplikacích jsou nejběžnější kombinace integrálů všech těchto typů:

\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,

kde jsou funkce , definované v bodech povrchu . $P,Q,R$ $(x,y,z)$ $\Phi$

Vztah mezi plošnými integrály druhého a prvního druhu

\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,

kde je jednotkový normálový vektor povrchu , je ort. $\nu$ $\Sigma$ $i$

Vlastnosti

Linearita: . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \ limity _{\Phi }g\,dx\,dy$
Aditivita: . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{ \Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$
Když se změní orientace povrchu, změní se znaménko integrálu povrchu.

Viz také

Literatura

Fikhtengolts, G. M. Kapitola 17. Plošné integrály // [Kurz diferenciálního a integrálního počtu]. - T. 3.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitola 5. Plošné integrály // Základy matematické analýzy. - V. 2. - (Kurz vyšší matematiky a matematické fyziky).

Odkazy

The World of Mathematical Equations Archived 21. listopadu 2019 na Wayback Machine .

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NKC : ph124123

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů