Segment (geometrie)

Úsek ploché křivky je plochý (obvykle konvexní ) útvar uzavřený mezi křivkou a její tětivou [1] .

Nejjednodušším a nejběžnějším příkladem segmentu ploché křivky je segment kruhu .

Charakteristika

Hlavní charakteristiky segmentu křivky jsou jeho šířka, výška, plocha a délka okraje.

Kruhový segment

Délka tětivy kruhového segmentu o poloměru a výšce se vypočítá pomocí Pythagorovy věty : $C$ $R$ $h$

c=2{\sqrt {R^{2}-(Rh)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}

Oblast segmentu kruhu o poloměru na základě středového úhlu (v radiánech ) [2] : $S$ $R,$ $\textstyle\theta$

S = \frac {1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)

Úsek paraboly

Archimedes ve 3. století před naším letopočtem E. dokázal, že plocha segmentu paraboly odříznutého od něj přímkou je 4/3 plochy trojúhelníku vepsaného do tohoto segmentu (viz obrázek).

Segment elipsy

Nechť je elipsa dána kanonickou rovnicí:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Oblast segmentu mezi obloukem konvexním doleva a svislou tětivou procházející bodem s úsečkou lze určit podle vzorce [3] : $X,$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\vpravo).

Jiné typy plochých segmentů

Úkol najít plochu a délku oblouku libovolného segmentu vyžaduje použití metod integrálního počtu , který byl historicky vytvořen právě pro tento účel.

Oblast

Pro výpočet plochy segmentu je nejčastěji vhodné zvolit jako osu x odpovídající tětivu křivky . Potom se plocha segmentu, tedy plocha pod křivkou protínající osu x v bodech a a b , rovná: $y=f(x)$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx

Například plocha pod prvním obloukem sinusoidy se vypočítá jako integrál :

S=\int \limits _{0}^{\pi }{\sin xdx}=-\cos(\pi )+\cos(0)=2

Další příklad: plocha segmentu (oblouku) cykloidy generovaná kruhem o poloměru se rovná , tedy trojnásobku plochy generujícího kruhu [4] . $R,$ $3\pi R^{2},$

Délka oblouku

Délka libovolné křivky, včetně oblouku segmentu, se vypočítá podle vzorce

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'\left(x\right)\right)^{2))}\,dx

Například pro výpočet délky prvního oblouku sinusoidy je nutné vypočítat normální eliptický Legendreův integrál 2. druhu , který není explicitně brán. Proto se k výpočtu takových integrálů dnes obvykle okamžitě používá numerická integrace .

Poznámky

↑ Segment // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 1100-1101.
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 512.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (pro vědce a inženýry). - M. : Nauka, 1973. - S. 68. - 720 s.
↑ Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmy, notace: Slovník-příručka, ed. 3 . - Petrohrad. : LKI, 2008. - S. 213 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Literatura

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.