Dvojitá řada

Dvojitá řada je číselná posloupnost, jejíž prvky jsou číslovány dvojicemi kladných celých čísel (indexů), uvažovaných společně s další posloupností, která se nazývá posloupnost dílčích součtů řady [1] .

Definice

Dovolit být číselná posloupnost ; uvažujme spolu s danou posloupností i posloupnost dílčích součtů řady ${\displaystyle \{a_{i,j}\}_{i=1,j=1}^{\infty ))$

\{s_{k,l}\}_{k=1,l=1}^{\infty },

jehož každý prvek je součtem některých členů původní sekvence

{\displaystyle \{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}a_{i,j))

Obecně se k označení série používá symbol:

\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j},

protože je zde uvedena počáteční posloupnost prvků řady a také sčítací pravidlo.

V souladu s tím se říká o konvergenci číselné dvojité řady:

číselná dvojitá řada konverguje , pokud konverguje posloupnost jejích částečných součtů, to znamená, že řada konverguje a má součet , pokud, ať už jsou čísla a taková, že nerovnost platí pro a . Také podmínku pro konvergenci dvojité řady k součtu lze zapsat jako $\{a_{i,j}}\}$ $s$ $\varepsilon >0$ $m_{{0}}$ $n_{{0}}$ ${\displaystyle m>m_{0))$ $n>n_{{0}}$ $\|s_{mn}-s\|<\varepsilon$ $s$

$\lim _{n,m\to \infty }s_{mn}=s$ .

číselná dvojitá řada diverguje , diverguje -li posloupnost jejích dílčích součtů;
číselná dvojitá řada konverguje absolutně , pokud konverguje řada modulů jejích členů.

Pokud číselná řada konverguje, pak se limita posloupnosti jejích dílčích součtů nazývá součet řady : $S$

{\displaystyle S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j))

Vlastnosti

Nechť všechny řádky konvergují v konvergentní dvojité řadě se součtem , a také nechť konverguje řada složená z jejich součtů, to znamená, ať jsou v rovnosti a . Pak . Podobně, pokud existují limity a . Potom [2] . ${\displaystyle \{a_{m,n}\}_{m,n=1}^{\infty ))$ $s$ ${\displaystyle s_{i*}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{ij))$ $s'=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}s_{i*}$ $s=s'$ ${\displaystyle s_{*j}=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}a_{ij))$ $s''=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}s_{*j}$ $s=s''$
Markovova věta. Nechte všechny řádky a všechny sloupce sbíhat ve dvojité řadě . Označme součet řádků . $\{a_{i,j}}\}$ ${\displaystyle s_{m*}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn))$ ${\displaystyle s_{*n}=\sum _{m=1}^{\infty }a_{mn))$ $s'=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m*}$

Pak:

- $k$ -té zbytky řádků tvoří konvergentní řadu s nějakým součtem . ${\displaystyle r_{m}^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\infty }a_{mn))$ ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }r_{m}^{(k)))$ ${\displaystyle R_{k))$
- Aby řada složená ze součtů sloupců konvergovala, je nutné a postačující, aby limita existovala . ${\displaystyle s''=\sum _{n=1}^{\infty }s_{*n))$ $\lim _{k\to \infty }R_{k}=R$
- Pro rovnost je nutné a postačující, aby existovalo [3] . $s'=s''$ $R=0$

Poznámky

↑ Vorobjov, 1986 , s. 234.
↑ Vorobjov, 1986 , s. 238.
↑ Vorobjov, 1986 , s. 239.

Literatura

Vorobyov N. N. Teorie řad. - M. : Nauka, 1986. - 408 s.