Maticový exponent

Exponent matice je maticová funkce čtvercové matice , podobná obvyklé exponenciální funkci . Exponent matice zakládá spojení mezi Lieovou algebrou matic a odpovídající Lieovou grupou .

Pro skutečnou nebo komplexní matici velikosti je exponent , označovaný jako nebo , matice definovaná mocninnou řadou : $X$ $n\krát n$ $X$ $e^{X}$ $\exp(X)$ $n\krát n$

e^{X}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}

kde je k -tá mocnina matice . Tato řada vždy konverguje, takže exponent je vždy dobře definovaný. $X^{k}$ $X$ $X$

Jestliže je matice velikosti , pak exponent matice je matice velikosti , jejíž jediný prvek je roven obvyklému exponentu jednoho prvku . $X$ $1\krát 1$ $X$ $1\krát 1$ $X$

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Pro komplexní matice a velikost , libovolná komplexní čísla a , matici identity a nulovou matici má exponent následující vlastnosti: $X$ $Y$ $n\krát n$ $A$ $b$ $E$ $0$

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
jestliže , pak ; $XY=YX$ $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$
jestliže je nesingulární matice , pak . $Y$ $\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$
$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , kde označuje transponovanou matici pro , z toho plyne, že jestliže je symetrický , pak je také symetrický a jestliže je šikmo symetrická matice , pak je ortogonální ; $X^{{\mathrm T}}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , kde označuje hermitovskou konjugovanou matici pro , z toho plyne, že pokud je hermitovská matice , pak je také hermitovská, a pokud je antihermitovská matice , pak je unitární . $X^{*}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$

Systémy lineárních diferenciálních rovnic

Jedním z důvodů, proč je exponent matice důležitý, je to, že jej lze použít k řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic [1] . Systémové řešení:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

kde je konstantní matice, je dáno: $A$

y(t)=e^{At}y_{0}.

Exponent matice lze také použít k řešení nehomogenních rovnic tvaru

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

Pro řešení neautonomních diferenciálních rovnic ve tvaru neexistuje uzavřený analytický výraz

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

kde není konstanta, ale Magnusova expanze umožňuje získat reprezentaci řešení jako nekonečný součet. $A$

Exponent součtu

Pro libovolná dvě reálná čísla (skaláry) a exponenciální funkce splňují rovnici , stejná vlastnost platí pro symetrické matice — pokud matice a komutují (tj. ), pak . Pro matice bez dojíždění však tato rovnost neplatí vždy, v obecném případě se pro výpočet používá vzorec Baker-Campbell-Hausdorff . $X$ $y$ ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y))$ $X$ $Y$ $XY=YX$ $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $\exp(X+Y)$

V obecném případě rovnost neznamená, že a dojíždět. $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $X$ $Y$

Pro hermitovské matice existují dvě pozoruhodné věty související se stopou exponentů matice.

Golden-Thompsonova nerovnost

Jestliže a jsou hermitovské matice, pak [2] : $A$ $H$

\operatorname {tr}\exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr}(\exp(A)\exp(H))

kde je stopa matrice . Aby toto tvrzení platilo, není nutná komutativnost. Existují protipříklady, které ukazují, že Golden-Thompsonova nerovnost nemůže být rozšířena na tři matice a není vždy skutečným číslem pro hermitovské matice , a . $\operatorname {tr}X$ $X$ $\operatorname {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ $A$ $B$ $C$

Liebův teorém

Liebův teorém, pojmenovaný po Elliott Lieb , říká, že pro pevnou hermitovskou matici je funkce: $H$

f(A)=\operatorname {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)

je konkávní na kuželu pozitivně definitních matic [3] .

Exponenciální mapování

Exponent matice je vždy nesingulární matice . Inverzní matice je , což je analogie skutečnosti, že exponent komplexního čísla není nikdy nula. Exponent matice tedy definuje mapování: $\exp X$ $\exp(-X)$

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

od prostoru všech matic dimenze po plnou lineární skupinu řádu , tedy skupinu všech nedegenerovaných matic dimenze . Toto zobrazení je surjekce , to znamená, že každá nesingulární matice může být zapsána jako exponent nějaké jiné matice (aby k tomu došlo, je nutné uvažovat obor komplexních čísel , nikoli reálná čísla ). $n\krát n$ $n$ $n\krát n$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Pro libovolné dvě matice a máme nerovnost $X$ $Y$

\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}

kde označuje libovolnou maticovou normu . Z toho vyplývá, že exponenciální zobrazení je spojité a Lipschitz na kompaktních podmnožinách . $\|\cdot \|$ $M_{n}(\mathbb {C} )$

Zobrazit:

t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}

definuje hladkou křivku v obecné lineární skupině, která prochází prvkem identity v . $t = 0$

Aplikace

Lineární diferenciální rovnice

Příklad homogenního systému

Pro systém:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrix))

jeho matrice je:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.

Lze ukázat, že exponent matice je $tA$

e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{ 2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)&2(t+ 1 )e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}} + 2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatrix}}~,

takže obecné řešení tohoto systému je:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e ^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{ 2t}}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^ {{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1 +e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}} )\end{bmatrix}}~.

Příklad nehomogenního systému

Chcete-li vyřešit nehomogenní systém:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t} }\end{matrix}}

jsou zavedeny zápisy:

A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,

{\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Protože součet obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení dává obecné řešení nehomogenní rovnice, zbývá pouze najít konkrétní řešení. Protože:

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{ 2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&- 2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\ 2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}} \end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue ^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u} }+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1) -16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t} }(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}} &0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}} &2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

kde je počáteční podmínka. ${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$

Zobecnění: variace libovolné konstanty

V případě nehomogenního systému lze použít metodu variace libovolné konstanty. Hledáme konkrétní řešení ve formě : ${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA} }{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z} }'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end {zarovnaný}}

Pro řešení je třeba provést následující: ${\mathbf y}_{p}$

{\begin{aligned}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'( t)&=(e^{{tA))^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _ { 0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{aligned}}

Takto:

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{ \mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(tu) A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{aligned}}~,

kde je určeno z počátečních podmínek problému. ${\mathbf {c}}$

Viz také

Goniometrické funkce z matice

Poznámky

↑ Piskunov H. S. Diferenciální a integrální počet pro vysoké školy, díl 2.: Učebnice pro vysoké školy. - 13. vyd. - M. : Nauka, Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1985. - S. 544-547. — 560 str.
↑ Bhatia, R. Maticová analýza (nespecifikováno) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Absolventské texty z matematiky). — ISBN 978-0-387-94846-1 .
↑ EH Lieb. Konvexní trasovací funkce a Wigner-Yanase-Dysonova domněnka // Adv . Matematika. : deník. - 1973. - Sv. 11 , č. 3 . - str. 267-288 . - doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .

Odkazy

Weisstein, Eric W., "Matrix Exponencial" , MathWorld
Modul pro maticovou exponenciální