Maticová funkce

V matematice je funkce matice funkcí , která mapuje matici na jinou matici.

Rozšíření skalární funkce na maticovou funkci

Existuje několik metod pro převod funkce reálné proměnné na funkci čtvercové matice , které zachovávají zajímavé vlastnosti této funkce. Všechny níže uvedené metody poskytují stejnou maticovou funkci, ale jejich domény se mohou lišit.

Mocninná řada

Pokud lze reálnou funkci reprezentovat jako Taylorovu řadu $F$

f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots

pak lze maticovou funkci definovat nahrazením maticí: mocniny se stanou maticí , sčítání se stane součtem matic a násobení se stane násobením matice číslem. Jestliže reálná řada konverguje v , pak odpovídající maticová řada konverguje pro matice A splňující podmínku v nějaké maticové normě splňující nerovnost . $X$ $|x|<r$ $\|A\|<r$ $\|\cdot \|$ $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$

Jordánský rozklad

Nechť je matice A zredukována na diagonální tvar, to znamená, že můžeme najít matici P a diagonální matici D takovou, že . Aplikováním definice z hlediska mocninných řad na toto rozšíření dostaneme to, co je určeno výrazem ${\displaystyle A=P\cdot D\cdot P^{-1))$ $f(A)$

f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\tečky &0\\\vtečky &\dtečky &\vtečky \\0&\tečky &f(d_{n})\end {bmatrix}}P^{-1},

kde označuje diagonální prvky matice D . ${\displaystyle d_{1},\tečky ,d_{n))$

Libovolnou matici lze redukovat na Jordanovu normální formu , kde matici J tvoří Jordanovy buňky . Zvažte tyto bloky samostatně a aplikujte metodu mocninné řady na každý Jordanův článek: ${\displaystyle A=P\cdot J\cdot P^{-1))$

Tuto definici lze použít k rozšíření oboru maticové funkce za množinu matic, jejichž spektrální poloměr je menší než poloměr konvergence původní mocninné řady. Zaznamenáváme také souvislost s dělenými rozdíly .

Souvisejícím konceptem je Jordan-Chevalleyův rozklad , který představuje matici jako součet diagonalizovatelné a nilpotentní části.

Hermitovské matrice

Podle spektrálního teorému má hermitovská matice pouze skutečná vlastní čísla a může být vždy redukována na diagonální formu pomocí unitární matice P. V tomto případě je jordánská definice přirozená. Navíc tato definice pokračuje ve standardních nerovnostech pro reálné funkce:

Pokud pro všechna vlastní čísla matice , pak . (Podle konvence je kladná semidefinitní matice ). Důkaz vyplývá přímo z definice. $f(a)\leq g(a)$ $A$ $f(A)\preceq g(A)$ $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$

Cauchyho integrál

Cauchyho integrální vzorec z komplexní analýzy lze také použít ke zobecnění skalárních funkcí na maticové funkce. Cauchyho integrální vzorec říká, že pro jakoukoli analytickou funkci f definovanou na množině D ⊂ℂ máme

f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{zx}}\,\mathrm {d} z

kde C je uzavřená křivka uvnitř domény D uzavírající bod x . Nahraďme nyní x maticí A a uvažujme obrys C ležící uvnitř D a obklopující všechna vlastní čísla matice. Jednou z možných vrstevnic C je kružnice obsahující počátek s poloměrem přesahujícím libovolnou normu . Pak je určeno výrazem $\scriptstyle \|A\|$ $\scriptstyle \|\cdot \|$ $f(A)$

f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f(z)(zI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} z~.

Tento integrál lze vypočítat numericky pomocí lichoběžníkové metody , která v tomto případě konverguje exponenciálně. To znamená, že přesnost výsledku se zdvojnásobí, když se počet uzlů zdvojnásobí.

Tato myšlenka, aplikovaná na lineárně ohraničené operátory na Banachových prostorech , které lze uvažovat bez nekonečně-rozměrných matic, vede k holomorfnímu funkčnímu počtu .

Poruchy matice

Taylorova řada výše umožňuje nahrazení skaláru maticí. To je ale nepřípustné v obecném případě, kdy se rozklad provádí v pojmech v okolí bodu , s výjimkou případů, kdy . Protipříklad je funkce, jejíž Taylorova řada obsahuje konečný počet členů. Pojďme to spočítat dvěma způsoby. $X$ $A(\eta )=A+\eta B$ $\eta =0$ $[A,B]=0$ ${\displaystyle f(x)=x^{3))$

Přímo:

f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^ {2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}

Použití Taylorova rozšíření pro skalární funkci a nahrazení skalárů maticemi na samém konci: $f(a+\eta b)$

f(a+\eta b)=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!))+f''(a){\frac {(\eta b) ^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}=a^{3}+3a^{2}( \eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\to A^{3}+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B) ^{2}+(\eta B)^{3}

Skalární výraz implikuje komutativnost , ale maticový výraz nikoli, takže je nelze srovnávat, pokud není splněna podmínka . Pro některé f(x) lze udělat totéž, co pro skalární Taylorovy řady. Například pro : if existuje , pak . Pak $[A,B]=0$ $f(x)={\frac {1}{x}}$ $A^{{-1}}$ $f(A+\eta B)=f(E+\eta A^{-1}B)f(A)$

f(E+\eta A^{-1}B)=E-\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}

Aby tato mocninná řada konvergovala, je nutné, aby odpovídající maticová norma byla dostatečně malá. V obecném případě, když funkci nelze přepsat tak, že dvě matice komutují, je třeba při aplikaci Leibnizova pravidla vzít v úvahu pořadí násobení matice . $\Vert \eta A^{-1}B\Vert$

Příklady

Algebraická Riccatiho rovnice
Maticový polynom
Kořen matice
Maticový logaritmus
Maticový exponent

Třídy maticových funkcí

Pomocí semi-definitních maticových uspořádání ( je kladná semi-definitní matice a je kladně-definitivní matice) lze některé třídy skalárních funkcí rozšířit na funkce hermitovských matic [1] . $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$ $X\prec Y\Leftrightarrow YX$

Monotónnost operátora

Funkce se nazývá operátor monotónní if $F$

$0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)$ pro všechny samoadjungované matice , jejichž spektrum patří do definičního oboru funkce f . Toto je analogie monotónní funkce pro skalární funkce. $A,H$

Konvexnost/konkávnost operátoru

O funkci se říká, že je operátorově konkávní tehdy a jen tehdy $F$

\tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)

pro všechny samoadjungované matice se spektrem v definičním oboru funkce f a pro . Tato definice je podobná konkávním skalárním funkcím . Operátorová konvexní funkce může být nahrazením výrazem v předchozí definici. $A,H$ $\tau \in [0,1]$ $\preceq$ $\succeq$

Příklady

Logaritmus matice je jak operátor-monotónní, tak operátor-konkávní. Čtverec matice je operátor konvexní. Exponent matice nepatří do žádné ze zadaných tříd. Löwnerova věta říká, že funkce na otevřeném intervalu je operátorově monotónní právě tehdy, když má analytické pokračování k horní a nižší komplexní polorovině tak, že horní polorovina je mapována na sebe. [jeden]

Viz také

Sylvesterova formule
Maticový počet
Nerovnosti stopy

Poznámky

↑ 1 2 Bhatia, R. Maticová analýza (neurčitá) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Absolventské texty z matematiky).

Literatura

Higham, Nicholas J. (2008). Funkce teorie a výpočtu matic . Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN 9780898717778.