Dělený rozdíl

Dělený rozdíl je zobecněním konceptu derivace pro diskrétní množinu bodů.

Definice

Nechť je funkce definována na (spojené) množině a párově odlišné body jsou pevné $F$ $X,$ $x_{0},\;\ldots ,\;x_{n}\in X.$

Potom se hodnota nazývá dělený rozdíl nulového řádu funkce v bodě a dělený rozdíl řádů pro systém bodů se určí pomocí dělených rozdílů řádů podle vzorce $F$ $x_{j}$ $f(x_{j}),$ $k$ $(x_{j},\;x_{j+1},\;\ldots ,\;x_{j+k})$ $(k-1)$

f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})={\frac {f (x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})-f(x_{j};\;x_{j+1}; \;\ldots ;\;x_{j+k-1})}{x_{j+k}-x_{j}}},

zejména,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0))} ,

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{1};\;x_{2})-f(x_{0} ;\;x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\dfrac {{\dfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2 }-x_{1))}-{\dfrac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0)))){x_{2}-x_{ 0}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})={\frac {f(x_{1}; \;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})-f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1}) }{x_{n}-x_{0}}}.

Vlastnosti

Pro dělený rozdíl platí vzorec

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\dfrac {f(x_{ j})}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i))}}),

zejména,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})}{x_{1}-x_{0))}+{\frac {f(x_ {0})}{x_{0}-x_{1}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})( x_{2}-x_{0})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{0})}} +{\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{1})}}.

Dělený rozdíl je symetrickou funkcí jeho argumentů, to znamená, že jakákoli jejich permutace nemění jeho hodnotu, zejména

f(x_{0};\;x_{1})=f(x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})=f(x_{1};\;x_{0};\;x_{2})=f(x_ {2};\;x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})=f(x_{n};\;x_{ n-1};\;\ldots ;\;x_{1};\;x_{0}).

S pevným systémem bodů je dělený rozdíl lineární funkcionál , to znamená pro funkce a skaláry a : $(x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})$ $F$ $G$ $A$ $b$

(a\cdot f+b\cdot g)(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})=a\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\; x_{n})+b\cdot g(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n}).

Aplikace

Pomocí dělených rozdílů lze funkce pro uzly zapsat jako Newtonův „dopředný“ interpolační polynom : $F$ $(x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})$

{\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{0})+f(x_{0};\;x_{1})\cdot (x-x_{ 0})+f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})\cdot (x-x_{0})\cdot (x-x_{1})+\ldots +f (x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})\cdot \prod _{k=0}^{n-1}(x-x_{k})=\\&=&f(x_ {0})+(x-x_{0})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1})+(x-x_{1})\cdot \left(f(x_{ 0};\;x_{1};\;x_{2})+\ldots +(x-x_{n-1})\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n })\ldots\right)\right),\end{array}}

tak je Newtonův interpolační polynom "zpět":

{\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1})\cdot (x- x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})\cdot (x-x_{n})\cdot (x-x_{n- 1})+\ldots +f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\cdot \prod _{k=1}^{n}(x-x_{k})=\ \&=&f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1})+(x-x_{n-1} )\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})+\ldots +(x-x_{1})\cdot f(x_{n };\;\ldots ;\;x_{0})\ldots \right)\right).\end{array}}

výhody:

pro výpočet dělených rozdílů jsou vyžadovány akce (dělení), což je méně než u jiných algoritmů; $(n+2)(n+1)/2=O(n^{2})$
můžete vypočítat hodnoty interpolačního polynomu podle Hornerova schématu pro akce (násobení); $Na)$
úložiště vyžaduje uzel a rozdíl a rozdíly lze uložit (přijmout) ve stejných buňkách, kde byly nastaveny hodnoty ; $(n+1)$ $(n+1)$ $f(x_{k})$
oproti Lagrangeovu interpolačnímu polynomu je přidání nového uzlu zjednodušeno.

Použitím

\left\{{\begin{array}{rcl}\omega _{j}(x)&=&(x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{j-1 })=\prod \limits _{k=0}^{j-1}(x-x_{k})=\omega _{j-1}(x)\cdot (x-x_{j-1} ),\;j>0,\\\omega _{0}(x)&=&1\end{array}}\right.

První ze vzorců lze napsat jako

L_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{j})\cdot \omega _{j} (X).

Pomocí Newtonova polynomu lze také získat následující reprezentaci dělených rozdílů jako poměr determinantů :

f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n- 1}&f(x_{0})\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky &\vtečky \\1&x_{n}&\ldoty &x_{n}^{n-1}&f(x_{n} )\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n}\end{array}}\right |}}.

Historie

Newton použil rozdělené rozdíly ve svém obecném interpolačním vzorci (viz výše), ale zdá se, že tento termín zavedl O. de Morgan v roce 1848 [1] .

Příklad

Obrázek níže ukazuje příklad výpočtu dělených rozdílů pro

{\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{i}&=&i,\;i=0, \ldots ,n,\\n&=&5.\end{array}}

Viz také

Odkazy

Hermitova interpolace pomocí dělených diferencí.

Literatura

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Numerické metody. - 3. vyd., dodat. a přepracováno. — M. : BINOM. Vědomostní laboratoř, 2004. - 636 s., ill. — ISBN 5-94774-175-X .
Korn G. (Granino A. Korn, Ph.D.), Korn T. (Theresa M. Korn, MS) Matematická příručka pro vědce a inženýry ( Eng. Mathematical handbook for scientist and engineers, 1968 ). - M . : Nauka, 1973. - 832 s., ill.

Poznámky

↑ Konečné rozdíly. Archivováno 12. srpna 2010 na Wayback Machine v Encyclopedia Around the World